Periódico de las órbitas de los sistemas Hamiltonianos

Question

Dado un Hamiltoniano $H$ $\mathbb{R}^{2n}$ y una órbita periódica $\gamma$, lo que en general se puede decir acerca de la existencia de órbitas periódicas cerca de $\gamma$?

Estoy casi avergonzado a esta pregunta porque hace alrededor de una década tuve una clase de Hofer, y tengo la Hofer-Zehnder libro, pero en el otro lado Hofer del enfoque hace que sea difícil para mí ver el bosque por los árboles, incluso en la época.

Answer 1

Aquí está un artículo sobre Hamilton sistemas de cerca fuertemente resonante periódico de las órbitas. Desde la primera página:

En un Hamiltoniano del sistema de órbitas periódicas en general no son aislados, sino que forman una paramétrico de las familias. Naturalmente, el valor de la función Hamiltoniana H desempeña el papel del parámetro. Por lo tanto, incluso en el caso de que el original de Hamilton explícitamente no contiene ningún parámetro, es posible observar en las bifurcaciones de órbitas periódicas. Una bifurcación corresponde a una resonancia entre la frecuencia de una órbita periódica y la frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor de ella. En un genérico situación hay una familia de hiperbólico periódico de las órbitas de un período múltiple, que se reduce a la de resonancia órbita periódica en una exacta de resonancia. Separatrices de la hiperbólico órbita periódica tiene que cruzan debido a la Hamiltoniana de la naturaleza del problema. Los segmentos de separatrices de la correspondiente resonante forma normal de hacer un circuito cerrado alrededor de el periódico de trayectoria. En la sección E, apéndice 7 de la ref. 1, Arnold señaló que debe haber una diferencia cualitativa importante entre el original Hamiltoniano del sistema y su forma normal debido a la división de separatrices.

Answer 2

Querido Steve Cazador, me remito a la versión para sistemas hamiltonianos de un resultado conocido como Poincarè-teorema de Lyapunov que describe el periódico órbitas alrededor de un conocido que cuando una determinada condición se cumple.

Deje $(M,\omega)$ $2n$- dimensiones simpléctica colector, una $H$ un suave regular de la función en $M$.

Deje $\Lambda$ $1$- dimensional compacta conectada submanifold de $M$ que es invariante bajo el flujo de $X_H$, es decir, $\Lambda$ es la imagen de un periódico de la integral de la curva de $X_H$.

Si $1$ no es un autovalor de la derivada de la primera recurrencia mapa para $X_H$ en un punto de $\Lambda$ entonces existe un $2$-dimensiones simpléctica submanifold $N$ $(M,\omega)$ contiene $\Lambda$ tal que $H|_N$ es un summersion cuyas fibras son compactos conectado y invariantes bajo el flujo de $X_H$.

Así que bajo la declaró no-degeneración condición de un periódico de la trayectoria de $X_H$ está incluido en una familia de órbitas periódicas formando un simpléctica submanifold y parametrizadas por $H$.

Para una referencia y una generalización que une las Poincarè-Lyapunov con el teorema de Liouville-Arnol d teorema, yo sugeriría N. N. Nekhoroshev: La de Poincaré'-Lyapunov-Liouville-Arnold teorema. Func.. Anal. Appl. 28 (1994), no. 2, 128 129--

Answer 3

Tal vez un parcial respuesta: es un hecho bien conocido, que si $\gamma$ es no degenerada órbita periódica, entonces es aislado. (véase, por ejemplo, Arnold, Dinámica de Sistemas III, de la Enciclopedia de la Matemática Ciencias, Vol 3.)

Está usted interesado en la existencia o en otras propiedades como la estabilidad? Si usted está interesado en la estabilidad, tal vez el scholarpedia sitio vamos útil: órbita Periódica

Answer 4

Tal vez útil, aunque no es exactamente lo que usted está pidiendo. Recuerdo un recuento de argumento en una de Pierre Lochak del papel utilizando un diophantine tipo de desigualdad para mostrar que existen cerca de órbitas periódicas con período de menos de $T$ cerca de cualquier punto de $T$. Como $T$ se hace más grande que existe una cerca de casi órbita periódica. El argumento fue usado para probar la Nekhoroshev teorema simultánea a través de la aproximación. Este conteo argumento de no encontrar periódico de las órbitas, como que usted está pidiendo, pero sí tuvo en cuenta cercanos cerca de órbitas periódicas.