Aplicación de la fórmula de Taylor

Question

Si se nos da que $f''(x) = f(x)$ ¿cómo demostramos que existen constantes $a$ y $b$ tal que $f(x) = ae^x + be^{-x}$ para todos $x$ ?

Se da una pista: Podemos definir otra función $g$ por $g(x) = f(x) - ae^x - be^{-x}$ y elegir las constantes $a$ y $b$ tal que $g(0) = g'(0) = 0$ . Sin embargo, no entiendo muy bien esta pista... ¿alguien podría explicarlo?

Answer 1

Si $f''=f'$ entonces $f(x)=a\mathrm{e}^x+b$ para algunos $a,b$ constante.

Si $f''=f$ entonces $f(x)=a\mathrm{e}^x+b\mathrm{e}^{-x}$ para algunos $a,b$ constante.

La forma de mostrarlo en el segundo caso es:

$f''=f$ implica que $f''+f'=f'+f$ y por lo tanto $g=f'+f$ satisface $g'=g$ lo que significa que $g(x)=a\mathrm{e}^x$ y $f'+f=a\mathrm{e}^{x}$ y por lo tanto $$\mathrm{e}^x(f'+f)=a\mathrm{e}^{2x}$$ o $$ \big(\mathrm{e}^xf(x)\big)'=a\mathrm{e}^{2x}, $$ etc.

Answer 2

CONSEJO : $g''(x)=g(x)-f(x)$

Segunda derivación de la misma $g-f$