¿Por qué es útil definir las secuencias como infinitas?

Question

En todos los textos de Análisis Real que he visto, la palabra 'secuencia' siempre significa "una infinito lista de números reales". ¿Por qué es tan útil que la definición incluya "infinito"? Tengo un problema similar con cualquier cosa que no distinga entre series infinitas y series finitas.

Answer 1

Esta es una pregunta suave, así que la responderé de esta manera. Se basa en gran medida en mi experiencia personal.

En primer lugar, cuando la gente dice secuencia, se refiere realmente a un mapeo del conjunto de todos los números naturales a los números reales. Es decir, para cualquier $n\in\mathbb{R}$ existe un número real correspondiente $x_n$ . Dado que hay infinitos números naturales La secuencia tiene que ser infinita en este sentido.

Pero espera un segundo, ¡tiene mucho sentido hablar de "secuencia finita"! Sólo tienes que restringir tu atención a un subconjunto finito de $\mathbb{N}$ por ejemplo, $\{0,1,2,3,\cdots,27\}$ . Pero no se oye hablar a menudo de este tipo de secuencias. Hay algunas razones para ello.

En el análisis real, al menos en la licenciatura, la secuencia infinita es realmente el tema central. En primer lugar, el análisis es el estudio del límite, en cierto sentido. Cuando se estudia el límite, la secuencia es una herramienta poderosa que podemos utilizar para entender temas más complicados simplemente porque la secuencia es el objeto más simple que existe . La mayoría de los libros de texto comienzan hablando de la sucesión, luego se utiliza la sucesión para estudiar las series y las funciones.

Si lo piensas, las series son cosas complicadas: ¿cómo diablos podemos entender una suma infinita? Después de todo, ¿qué es una suma infinita? ¿Tiene siquiera sentido? Si definimos la suma parcial de una serie, básicamente podemos tratar las series como límites de secuencias. Las funciones también son objetos complicados. Pueden ser continuas o discontinuas, diferenciables o no diferenciables. Al definir varias propiedades de las funciones utilizando la sucesión, básicamente estamos reducir un problema desconocido y un objeto desconocido a un objeto conocido y bien estudiado .

Answer 2

No soy historiador, pero creo que es razonable suponer que el concepto de secuencias se desarrolló inicialmente en relación con el concepto de aproximación. Por ejemplo, el área de un círculo. Tomemos polígonos regulares con $n$ lados, inscritos en el círculo. El área de cada polígono es una aproximación al área del círculo, pero para que esto tenga sentido, hay que permitir $n$ para recorrer todos los números naturales, no se puede limitar a un número finito $n$ 's.