Las direcciones en las que la derivada direccional de una función de valor real en un $n$ -espacio dimensional es 0 conforman un $(n-1)$ subespacio dimensional

Question

Esta es una pregunta de Loomis y Sternberg Cálculo avanzado : Dejemos que $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ , donde $V$ es un $n$ -y dejemos que $f$ sea diferenciable en $a \in V$ . Demuestra que las direcciones, $\xi$ , de tal manera que el $D_\xi f(a) = 0$ , componen un $(n-1)$ subespacio dimensional.

Siento que esto debería ser una pregunta sencilla, pero me cuesta mostrarlo. Ni siquiera sé por dónde empezar realmente. Sé que tenemos $$ \lim_{t\rightarrow0}\frac{f(a+t\xi)-f(a)}{|t|} = 0$$

Pero no tengo claro cómo puedo trabajar con esto para llegar a una solución.

Answer 1

La derivada en un punto de entrada es un operador lineal desde los cambios "alrededor" de esa entrada (que viven en un espacio n-dimensional, en este caso) a los cambios "alrededor" de su correspondiente salida (que viven en un espacio 1-dimensional, en este caso). Un operador lineal de un espacio n-dimensional a un espacio 1-dimensional es constantemente cero, o tiene un espacio (n - 1)-dimensional de ceros (este es un caso especial del "teorema de nulidad de rango").