Derivada de una expresión con respecto a un componente de un tensor

Question

Recientemente me he encontrado con un artículo en el que la notación de alguna ecuación me confunde mucho. Digamos que si tengo una expresión representada por delta $\delta_{jk},\delta_{jl}$ , tensor $e_{jk}, e_{jl}$ y algunos componentes de un vector ( $x^0_{k}, x^0_l$ ):

$s=(\delta_{jk}+e_{jk})x^0_k(\delta_{jl}+e_{jl})x^0_l$ -----------------(1)

Y si diferencio esto con respecto a un componente del tensor, digamos $e_{\alpha \beta}$ me da:

$\frac{\partial s}{\partial e_{\alpha \beta}}=2(\delta_{\alpha k}+e_{\alpha k})x^0_kx^0_\beta$ -----------------------(2)

¿Cómo puedo obtener (2) basándome en (1)? ¿Alguien podría darme algunos detalles? Gracias.

Answer 1

Utilizando el hecho de que $\frac{\partial}{\partial e_{\alpha \beta}}(e_{ij})=\delta_{i\alpha}\delta_{j\beta}$ :

$$\begin{align}\frac{\partial}{\partial e_{\alpha \beta}}(s)&=\frac{\partial}{\partial e_{\alpha \beta}}(\delta_{jk}x_k^0e_{jl}x_l^0)+\frac{\partial}{\partial e_{\alpha \beta}}(e_{jk}x_k^0\delta_{jl}x_l^0)+\frac{\partial}{\partial e_{\alpha \beta}}(e_{jk}x_k^0e_{jl}x_l^0)\\&=\delta_{jk}x_k^0\delta_{\alpha j}\delta_{\beta l}x_l^0+\delta_{j\alpha}\delta_{\beta k}x_k^0\delta_{jl}x_l^0+2\delta_{\alpha j}\delta_{\beta k}x_k^0e_{jl}x_l^0\\&=x_k^0\delta_{\alpha k}x_{\beta}^0+x_\beta^0\delta_{\alpha k}x_k^0+2x_\beta^0e_{\alpha k}x_k^0\\&=2(\delta_{\alpha k}+e_{\alpha k})x_{\beta}^0x_k^0\end{align}$$