$$ y''+36y = f(t) $$ $$ f(t) = \begin{cases} 1, & \text{0 t < 8} \\ 0, & \text{8 t < } \end{cases} $$
$$ y(0) = 0 $$ $$ y'(0) = 1 $$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $$(\mathcal{L}f)(s)=\int^{\infty}_{0}f(t)e^{-st}\,dt$$ Denotemos el operador de Laplace aplicado a una función de valor real $f$ que satisface algunas condiciones de regularidad tales que la integral anterior existe. Nótese que $$(\mathcal{L}f')(s)=\int^{\infty}_{0}f'(t)e^{-st}\,dt=f(t)e^{-st}\Big|^{\infty}_{0}+s\int^{\infty}_{0}f(t)e^{-st}\,dt=-f(0)+s(\mathcal{L}f)(s)$$ Aplicando la misma técnica (integración por partes) se obtiene $$(\mathcal{L}f'')(s)=-f'(0)-sf(0)+s^2(\mathcal{L}f)(s)$$ Puedes comprobar que la transformada de Laplace es un operador lineal. Utilizando estos hechos podemos resolver el problema de la siguiente manera $$y''+36y=f(t)\Leftrightarrow(\mathcal{L}(y''+36y))(s)=(\mathcal{L}f)(s)\Leftrightarrow (\mathcal{L}y'')(s)+36(\mathcal{L}y)(s)=(\mathcal{L}f)(s)$$ El lado derecho es igual a $$(\mathcal{L}f)(s)=\int^{\infty}_{0}f(t)e^{-st}\,dt=\int^{8}_{0}1\cdot e^{-st}\,dt+\int^{\infty}_{8}0\cdot e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}(1-e^{-8s})$$ El lado izquierdo es igual a (utilizando las condiciones iniciales): $$(\mathcal{L}y'')(s)+36(\mathcal{L}y)(s)=-y'(0)-sy(0)+s^2(\mathcal{L}y)(s)+36(\mathcal{L}y)(s)=-1+(s^2+36)(\mathcal{L}y)(s)$$ Así que conseguimos que $$Y(s)\equiv(\mathcal{L}y)(s)=\frac{1+s-e^{-8s}}{s(s^2+36)}$$ Sin embargo, estamos interesados en $y(t)$ por lo que la recuperamos mediante la transformada inversa de Laplace que se define en términos de la integral de Bromwich de la siguiente manera $$y(t)=\frac{1}{2\pi i}\int^{\gamma+i\infty}_{\gamma-i\infty}\frac{1+s-e^{-8s}}{s(s^2+36)}\cdot e^{st}\,ds$$ donde $\gamma$ se elige de forma que todos los polos del integrando tengan parte real menor que $\gamma$ . El integrando anterior tiene dos polos simples en $$s=6i,s=-6i$$ Evitando los tecnicismos relativos al contorno de Bromwich podemos proceder al hecho de que la integral anterior es igual a la suma de los residuos del integrando en sus polos. En otras palabras $$\frac{1}{2\pi i}\int^{\gamma+i\infty}_{\gamma-i\infty}\frac{1+s-e^{-8s}}{s(s^2+36)}\cdot e^{st}\,ds=\frac{1}{2\pi i}\{2\pi i\cdot[\frac{1+6i-e^{-48i}}{-72}e^{6it}+\frac{1-6i-e^{48i}}{-72}e^{-6it}]\}=\frac{1}{36}(-\cos(6t)+H(t-8)(\cos(6(8-t))-1)+6\sin(6t)+1)$$ Así que la solución es $$y(t)=\frac{1}{36}(-\cos(6t)+H(t-8)(\cos(6(8-t))-1)+6\sin(6t)+1)$$ donde $H(t)$ es la función escalonada de Heaviside.
