Cómo evaluar la siguiente integral

Question

Alguien podría indicarme cómo calcular la siguiente integral: $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{a\log(t^2+1)}{t^2 + a^2}dt,$$ aquí $a > 0$ .

Answer 1

Es igual a $2a\Re \int_{-\infty}^\infty \frac{\log(t+i)}{t^2+a^2}dt$ . Creemos que $\log$ se define en el semiplano superior. Entonces el contorno puede estar cerrado a un semiplano superior, ya que la función integrada es $o(1/|z|)$ para grandes $z$ . Obtenemos $$2\pi i\, {\rm Res}_{ai} \frac{\log(z+i)}{z^2+a^2}=2\pi i\frac{\log((a+1)i)}{2ai}=\pi a^{-1}(\log(a+1)+i\pi/2),$$ tomando la parte real y multiplicando por $2a$ obtenemos $2\pi\log(a+1)$ .

Answer 2

Mathematica dice $2\pi \log(1+a).$ Si tuviera que adivinar cómo lo hace, diría que hace la sustitución $t=a u,$ entonces diferenciar el integrando con respecto a $a$ para obtener una función racional, y luego integrar la respuesta con respecto a $a.$