Demostrar que no hay números enteros $x$ y $y$ tal que $x^2 = 5y + 2$

Question

¿Debo utilizar el Algoritmo de la División para resolver esto o investigar 4 casos en los que o bien x o y son pares/Impares o ambos son pares e Impares? I

Answer 1

Esto es más fácil de probar usando mods. Sabemos que si ese par existe, entonces $x^2\equiv2\bmod5$ .

Tenga en cuenta que $$0^2\bmod5=0$$$$1^2\bmod5=1$$$$2^2\bmod5=4$$$$3^2\bmod5=4$$$$4^2\bmod5=1$$

Así que esto no es posible.

Answer 2

$x=5k, 5k\pm1, $ o $5k\pm2,$

así que $x^2=25k=5(5k), $

$x^2=25k^2\pm10k+1=5(5k^2\pm2k)+1$ ,

o $x^2=25k^2\pm20k+4=5(5k^2\pm4k)+4.$

En ningún caso $x^2=5y+2$ .