SDE para $e^\int$ expresiones

Question

Considere los siguientes procesos: $$X_t=e^{\int_0^t f(s,\omega)ds}$$ $$Y_t=e^{\int_0^t g(s,\omega)dB_s}$$ Supongamos que $f$ y $g$ tienen las propiedades necesarias para que esto sea manejable, por ejemplo, que sean integrables al cuadrado, etc. $B_t$ es un movimiento browniano 1D estándar que comienza en el origen. Quiero entender cómo tomar directamente la diferencial estocástica de Ito de estos.

PREGUNTA: ¿Cuáles son las ecuaciones diferenciales estocásticas para $dX_t$ y $dY_t$ ?

He aquí un intento:

$$d X_t=X_tf(t,\omega)dt +X_t\left(\int_0^t f_{B_s}(s,\omega)ds\right)dB_t +\frac12X_t\left(\int_0^t f_{B_sB_s}(s,\omega)ds\right)dt$$

$$d Y_t=Y_tg(t,\omega)dt +Y_t g(t,\omega)dB_t +\frac12Y_t g_{B_s}(t,\omega)dt$$

Por supuesto, estoy pasando una derivada con respecto a. $B_t$ en la integral, y no estoy seguro de si eso está bien aquí, o en general.

Además, he pensado en coger troncos: $$\log X_t=\int_0^t f(s,\omega)ds$$ De modo que $$d(\log X_t)=f(t,\omega)dt$$ pero por la fórmula de Ito también es $$d(\log X_t)=\frac{1}{X_t}dX_t-\frac12\frac{1}{X_t^2}(dX_t)^2.$$

Un cálculo similar con $Y_t$ me pone en una situación similar. No estoy seguro de cómo lidiar con el $(dX_t)^2$ aquí. También he intentado la integración por partes sin éxito. Supongo que hay un resultado estándar o truco que se puede aplicar o que tengo algún error básico aquí. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Permítanme recordar primero la fórmula de Itô (para los procesos de Itô):

Dejemos que $(Z_t)_{t \geq 0}$ sea un proceso Itô, es decir, un proceso estocástico de la forma $$Z_t-Z_0 = \int_0^t \sigma(s) \, dB_s + \int_0^t b(s) \, ds \tag{1}$$ para mapeos (aleatorios) adecuados $b$ y $\sigma$ . Entonces se cumple para cualquier función dos veces continuamente diferenciable $F$ que $$F(Z_t) -F(Z_0) = \int_0^t F'(Z_s) \sigma(s) \, dB_s + \int_0^t \left( b(s) F'(Z_s) + \frac{1}{2} F''(Z_s) \sigma^2(s) \right) \, ds. \tag{2}$$

La fórmula de Itô puede escribirse de forma más compacta de la siguiente manera:

$$F(Z_t)-F(Z_0) = \int_0^t F'(Z_s) \, dZ_s + \frac{1}{2} \int_0^t F''(Z_s) \, d \langle Z \rangle_s \tag{3}$$

donde $$d\langle Z \rangle_s := \sigma(s)^2 \, ds$$ y (según $(1)$ ) $$dZ_s = \sigma(s) \, dB_s + b(s) \, ds.$$

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Volvamos a tus ejemplos. Si quieres encontrar la diferencial estocástica de un proceso dado utilizando la fórmula de Itô, entonces tienes que identificar a) la función $F$ (dos veces diferenciable, determinista) y b) un proceso Itô adecuado $(Z_t)_t$ como en $(1)$ . Para

$$X_t = \exp \left( \int_0^t f(s) \, ds \right)$$

podemos escribir

$$X_t = F(Z_t) \quad \text{for} \quad F(x) := e^x \quad Z_t := \int_0^t f(s) \, ds.$$

Claramente, $f$ es dos veces diferenciable y $Z_t$ es de la forma $(1)$ (con $\sigma := 0$ y $b:=f$ ). Aplicando la fórmula de Itô $(2)$ encontramos

$$X_t-X_0 = \int_0^t f(s) \underbrace{e^{Z_s}}_{X_s} \, ds$$

es decir

$$dX_t = f(s) X_s \, ds.$$

El razonamiento para $(Y_t)_{t \geq 0}$ es muy similar: tenemos $Y_t = F(Z_t)$ para $$F(x) := e^x \quad \text{and} \quad Z_t := \int_0^t g(s) \, dB_s.$$ Esto significa que $(1)$ se mantiene con $b=0$ y $\sigma := g$ . Utilizando $(2)$ encontramos

$$Y_t-Y_0 = \int_0^T \underbrace{e^{Z_s}}_{Y_s} g(s) \, dB_s + \frac{1}{2} \int_0^t \underbrace{e^{Z_s}}_{Y_s} g(s)^2 \, ds,$$

es decir

$$dY_s = Y_s g(s) \, dB_s + \frac{1}{2} Y_s g(s)^2 \, ds.$$

Answer 2

Usando el Teorema de Itô-Doeblin, deberías obtener:

$$ \begin{align*} d X_t&=X_tf(t,\omega)dt +X_t\left(\int_0^t f_{\omega}(s,\omega)ds\right)dB_t +\frac12\left[X_t\int_0^t f_{\omega\omega}(s,\omega)ds+X_t\left(\int_0^t f_{\omega}(s,\omega)ds\right)^2\right]dt\\ d Y_t&=Y_tg(t,\omega)dt +Y_t g(t,\omega)dB_t +\frac12\left(Y_t g_{\omega}(t,\omega)+Y_tg^2(t,\omega)\right)dt \end{align*} $$

Y con respecto a la otra parte de tu post, toma nota:

$$\int_0^td(log(X_t))=log(X_t)-log(X_0)$$