El principio de la multiplicación, parafraseado, dice que si quieres contar el número de resultados que tiene un escenario... si puedes describir todos y cada uno de los resultados únicamente a través de una secuencia de pasos, de forma que el número de opciones disponibles para un paso concreto sea coherente y no dependa de las elecciones realizadas previamente en pasos anteriores ( aunque la lista de opciones puede variar )... entonces el número total de resultados es el producto del número de opciones de los pasos.
En términos de la teoría de conjuntos, esto se enuncia comúnmente como:
$$|A\times B| = |A|\times |B|$$
A continuación, el principio de adición... si quieres contar el número de resultados que tiene un escenario y puedes dividir el conjunto de resultados en dos conjuntos exhaustivos más pequeños y disjuntos, puedes contar esos conjuntos más pequeños y sumar sus respectivos resultados para obtener el conjunto mayor.
En términos de la teoría de conjuntos, esto se enuncia comúnmente como:
$$|A\sqcup B| = |A|+ |B|$$
( Donde $\sqcup$ es el símbolo de la unión, pero conlleva la connotación de que se entiende que $A$ debe ser disjunta de $B$ para ser utilizado )
Nota, la identidad más general es $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ donde dejamos de lado el requisito de que $A$ y $B$ deben ser disjuntos. La idea aquí es que podríamos haber contado doblemente aquellos resultados que estuvieran en la superposición de $A$ y $B$ y el recuento global debe corregirse para tenerlo en cuenta.
Podemos reordenar esto último restando al otro lado para obtener la identidad relacionada de que para contar el número de resultados "buenos", podemos contar el número global de resultados y restar el número de resultados "malos", que $|A\sqcup B|-|B|=|A|$
Así que... usando estos... contamos el número de resultados globales para el número de números de teléfono de 7 dígitos si no nos importa que empiece por el 911.
Dada la solución, se supone que un número de teléfono no puede empezar por $0$ o con $1$ .
- Elige el primer número. Hay $8$ opciones
- Elige el segundo número. Hay $10$ opciones
- Elige el tercer número. Hay $10$ opciones
- Elige el cuarto número. Hay $10$ opciones
- $\vdots$
Aplicando el principio de la multiplicación, hay entonces $8\times 10\times 10\times \dots \times 10 = 8\times 10^6$ diferentes números de teléfono de 7 dígitos.
Ahora, para contar los números de teléfono "malos" de los que fueron los que empezaron con el 911.
- Los tres primeros números son 9,1,1 respectivamente. Sólo hay una opción disponible para estos para el número de haber comenzado con 9,1,1.
- Elige el cuarto número. Hay $10$ opciones
- Elige el quinto número. Hay $10$ opciones
- $\vdots$
Multiplicando este número de opciones, se obtiene un total de $1\times 10\times 10\times 10\times 10 = 10^4$ números de teléfono "malos" que antes habíamos incluido por error en nuestro recuento.
Si se toma la diferencia, el resultado final es:
$$8\times 10^6 - 10^4$$
