Interpretación del teorema de Gauss aplicado a las ecuaciones de Maxwell: $\dfrac{d}{dt} \int \rho \ dV + \int \mathbf{j} \cdot \mathbf{n} \ dS = 0$

Question

Utilizando las ecuaciones de Maxwell y el teorema de Gauss, obtenemos

$$\dfrac{d}{dt} \int \rho \ dV + \int \mathbf{j} \cdot \mathbf{n} \ dS = 0,$$

donde $\rho$ es la densidad de carga eléctrica y $\mathbf{j}$ es la densidad de corriente eléctrica.

Por lo tanto, tenemos que

$$e = \int \rho \ dV$$

es la carga total.

Se dice que la corriente eléctrica es $I = \dfrac{Q}{t}$ , donde $Q$ es la cantidad de carga en culombios. Entonces, ¿significa esto que el término $\dfrac{d}{dt} \int \rho \ dV$ ¿es la corriente? Al fin y al cabo, es el cambio de la carga eléctrica total con respecto al tiempo, que coincide con $I$ ¿verdad?

¿O significa esto que $\int \mathbf{j} \cdot \mathbf{n} \ dS$ ¿es la corriente eléctrica?

¿Qué representa realmente cada uno de estos dos términos?

Agradecería mucho que la gente se tomara la molestia de aclarar esto.

Answer 1

$\int \mathbf{j} \cdot \hat{\mathbf{n}} \, \mathrm{d} S$ es la integral de la densidad de corriente sobre una superficie; ésta es igual a la corriente total que atraviesa dicha superficie. En su notación podría llamarse $I$ .

$\int \rho \, \mathrm{d} V$ es la integral de la densidad de carga sobre un volumen; ésta es igual a la carga total en el volumen. Se puede denotar como $Q$ .

Así que el enunciado de la ley de Gauss se puede escribir

$$I = -\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t};$$

el signo negativo proviene de la orientación de la superficie: definimos que la corriente que sale de la superficie tiene un signo positivo.

Answer 2

La ecuación de continuidad establece que la carga de un volumen V sólo puede cambiar debido al flujo eléctrico (es decir, cuando se mueven fuera o dentro del volumen). La misma ecuación de continuidad es válida también para los líquidos, con $\varrho$ siendo la densidad y $j=\varrho v$ , donde $v$ es la velocidad del flujo.

Estas ecuaciones de continuidad no tienen fuente, pero una general sí la tiene. Por ejemplo, la ecuación de continuidad para la energía del campo electromagnético es $$\frac{\partial w}{\partial t}+\text{div}S=-jE$$ Donde $w$ es la densidad de energía, es decir $$w=\frac{1}{2}(ED+BH)$$ Y $S$ es el vector Poynting: $$S=E\times H$$ Integrando esta ecuación a todo el espacio, obtenemos que la energía total sólo puede cambiar debido a la potencia externa $jE$ .