Ejemplo de similar matrices $A$ $B$ de manera tal que los productos de $AB$ $BA$ no son similares

Question

Yo estoy buscando lo más simple posible ejemplo de las matrices cuadradas $A$ $B$ tal que

• $A$ es similar a $B$,
• $AB$ es no similar a $BA$.

Un ejemplo que debe de existir, pero me gustaría encontrar el "más pequeño". Si bien $A$ o $B$ es invertible, entonces a $AB$ será similar a $BA$, por lo que uno debe mirar singular de las matrices.

Answer 1

$A = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix}0 & 0\\1 & 1\end{bmatrix}$

Deje $P = \begin{bmatrix}1 & -1\\-3 & 1\end{bmatrix}$. Entonces
$PAP^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -1\\-3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1/2 & -1/2\\-3/2 & -1/2\end{bmatrix} = B$.

$AB = \begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix},\ BA = \begin{bmatrix}0 & 0\\2 & 0\end{bmatrix}$

$AB$ $BA$ no son similares a $\text{rank}(AB) = 0$ pero $\text{rank}(BA) = 1$.