Encontrar el error en esta prueba de que 1=2

Question

Tengo una "prueba" que tiene un error y mi objetivo es averiguar cuál es ese error. La prueba:

Si $x = y$ entonces

$$ \begin{eqnarray} x^2 &=& xy \nonumber \\ x^2 - y^2 &=& xy - y^2 \nonumber \\ (x + y)(x - y) &=& y(x-y) \nonumber \\ x + y &=& y \nonumber \\ 2y &=& y \nonumber \\ 2 &=& 1 \end{eqnarray} $$

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Mi mejor estimación es que el error comienza con la línea $2y = y$ . Si aceptamos que $x + y = y$ es cierto, entonces

$$ \begin{eqnarray} x + y &=& y \\ x &=& y - y \\ x &=& y = 0 \end{eqnarray} $$

¿He encontrado el error? Si no, ¿estoy cerca?

Answer 1

Sugerencia $ $ Al depurar las pruebas en abstracto objetos, el error puede ser más sencillo de detectar tras especializarse en más hormigón objetos. En su prueba los símbolos $\rm\:x,y\:$ denotan números abstractos, así que vamos a especializarlos en números concretos, por ejemplo $\rm\:x = y = 3.\:$ Esto da lugar a la siguiente "prueba"

$$\begin{eqnarray} 3^2 &=& 3\cdot3 \\ 3^2 - 3^2 &=& 3\cdot 3 - 3^2 \\ (\color{c00}{3 + 3})\:(\color{c00}{3 - 3}) &=& \color{c00}3\: (\color{c00}{3-3}) \\ \color{#c00}{3 + 3} &=&\color{#c00} 3\ \ {\rm via\ cancel}\ \ \color{c00}{3-3} \\ 2\cdot 3 &=& 3 \\ 2 &\:=\:& 1 \end{eqnarray}$$

Ahora podemos encontrar la primera inferencia falsa encontrando el primer $\rm\color{#c00}{false\ equation}$ anterior; si es el número de la ecuación $\rm\: n\!+\!1,\:$ entonces la inferencia de la ecuación $\rm\:n\:$ a $\rm\:n\!+\!1\:$ es incorrecto (arriba: "vía cancelación $0$ ")

Los métodos análogos resultan útiles en general: cuando se estudian objetos abstractos y algo no está claro, hay que fijarse en las especializaciones concretas para obtener más información sobre el caso general.

Answer 2

Eso es ciertamente un error, aunque hay un error que lo precede.

SUGERENCIA: Mira todos los lugares que tienes $(x-y)$ en su prueba. ¿Qué es $x-y$ ? ¿Qué está haciendo con $x-y$ cada vez que aparece?

Answer 3

En la tercera línea has escrito:

$(x+y)(x-y) = y(x-y)$

Desde $x=y$ no podemos cancelar $(x-y)$ , ya que es igual a 0.

La ley de cancelación en cualquier dominio integral es la siguiente:

La ley de cancelación de la izquierda: Si $a\neq 0$ entonces $ab= ac$ implica $b=c$ .
Derecho de cancelación: Si $a\neq 0$ entonces $ba=bc$ implica $b=c$ .

Answer 4

Como ya has declarado:

$x = y$

$x - y = 0$

En el paso 3, dividiendo por $x-y$ ( $= 0$ ) es un error matemático, ya que es matemáticamente inválido dividir cualquier cosa por $0$ .