Supongamos que $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es infinitamente diferenciable

Question

Supongamos que $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es infinitamente diferenciable, y que para cada $n\in \mathbb{N}$ hay números positivos $c_{n}$ y $\delta_{n}$ tal que $|g(x)| \leq c_{n}|x|^n$ si $|x|<\delta_{n}$ . Demostrar que para cada número natural $n$ , $g^{(n)}(0) = 0$ .

Mi intento de utilizar la inducción es el siguiente:

Caso base ( $n = 1$ ): Por supuesto que hay $c_{1} >0$ y $\delta_{1} >0$ tal que $|g(x)| \leq c_{1}|x|$ si $|x|<\delta_{1}$ . Configurar $x = 0$ produce que $|g(0)| \leq c_{1}|0| = 0$ y por lo tanto $g(0) = 0$

Arreglar $k\in \mathbb{N}$ y supongamos que $g^{(k)}(0) = 0$ . Este es el punto en el que me quedo atascado. He tratado de aplicar el Teorema del Resto de Lagrange en este punto, pero no he tenido éxito. Entiendo que esto no es mucho para trabajar, pero cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Pista: Demuestre recursivamente que los coeficientes de la serie de Taylor ( o el desarrollo limitado) son cero dividiendo por $x^n$ y el cálculo del límite.

Answer 2

Si la afirmación es falsa, entonces que $k$ sea el menor número natural tal que $g^{(k)}(0)\ne 0.$ Entonces, en una vecindad adecuada de cero, se tiene $g(x)=x^k\left(a_k+a_{k+1}x^{k+1}+\cdots +\right)$ así que $|g(x)|=|x^k||a_k+a_{k+1}x^{k+1}+\cdots +|\le c_k|x^k|.$ De ello se desprende que $\left|\frac{g(x)}{x^k}\right|\le c_k.$ Ahora, $g$ está acotado en $(-\delta_k,\delta_k)$ , por lo que dejar que $x\to 0$ obtenemos una contradicción.