Prueba $A+B= A \cup B$ si y sólo si $A \cap B = \emptyset$ utilizando la definición de $A+B$

Question

Dejemos que $A$ y $B$ sean conjuntos. Definir la diferencia simétrica de $A$ y $B$ , escrito $A+B$ , por $A+B=(A \cup B) \backslash (A \cap B)$ .

Prueba $A+B= A \cup B$ si y sólo si $A \cap B = \emptyset$ .

Mi intento:

Parte 1b. Si $A+B = A \cup B$ entonces $ A \cap B = \emptyset$

$A+B=(A \cup B) \backslash (A \cap B)$ .

No debería haber ningún elemento dentro de $A \cap B$ .

$A+B=(A \cup B) \backslash (\emptyset)$

Por lo tanto, $A \cap B = \emptyset$ .

Edición: ¿Y si pongo...

Definición: Que $(A \cup B)$ y $(A \cap B)$ sean conjuntos. El complemento de $(A \cup B)$ en relación con $(A \cap B)$ , escrito $ (A \cup B)\backslash (A \cap B)$ es el conjunto $(A \cup B) \backslash (A \cap B) = [x: x \in (A \cup B) \land x \notin (A \cap B)]$

Mientras los elementos están dentro $(A \cup B)$ no pertenecen a $(A \cap B)$

hmmmm no hay ningún elemento en común... entonces es un conjunto vacío... espera un segundo... conjunto vacío significa que no hay ningún elemento.

Parte 2b. Si $A \cap B = \emptyset$ entonces $A+B = A \cup B$

$A+B=(A \cup B) \backslash (\emptyset)$

Definición: Que $(A \cup B)$ y $\emptyset$ sean conjuntos. El complemento de $(A \cup B)$ en relación con $\emptyset$ , escrito $ (A \cup B)\backslash \emptyset$ es el conjunto $(A \cup B) \backslash \emptyset = [x: x \in (A \cup B) \land x \notin \emptyset]$

Hay elementos dentro de $A \cup B$ pero no en $A \cap B$ .

Como resultado, $A+B = (A \cup B)$

¿He hecho esto correctamente?

Answer 1

Intentaré mostrarte el resultado explotando las definiciones.

Definir la diferencia simétrica de $A$ y $B$ (escrito $A+B$ ), por

$A+B = (A \cup B) \backslash (A \cap B)$ .

Tenemos que

$x \in A+B \quad$ si $\quad ( x \in A \lor x \in B) \quad$ y $\quad \lnot (x \in A \land x \in B)$

Pero también tenemos que

$x \in A \cup B \quad$ si $\quad ( x \in A \lor x \in B)$

Ahora queremos que $A + B$ debe ser igual a $A \cup B$ .

Si "comparamos" las dos condiciones anteriores, podemos escribirlas como

$P \land Q$ y $P$ y queremos que $P \land Q \equiv P$ .

Mediante una tabla de verdad, podemos comprobar que $P \land Q \equiv P$ si $Q$ es idéntico verdadero .

Por lo tanto, queremos que nuestra condición $\lnot (x \in A \land x \in B)$ debe ser idéntico verdadero .

Esto es simplemente :

$\forall x \lnot (x \in A \land x \in B)$ .

Por definición, $x \in A \cap B$ si $x \in A \land x \in B$ .

Por lo tanto, nuestra condición es : $\forall x (x \notin A \cap B)$ y esto, a su vez, significa que $A \cap B$ es $\emptyset$ (el conjunto vacío ).

Answer 2

A + B := A \B U B \A. Utilizaremos esta definición para demostrar la afirmación y es equivalente a la definición dada en el enunciado anterior. ===> Si A + B = A U B. Entonces demostramos que la intersección de A y B está vacía. Si esto no es cierto, entonces hay un y en A y B. Así que y en A U B y por lo tanto y en A + B. Así que eso significa que y está en A \B o B \A. Pero ninguna de las dos cosas puede ocurrir, ya que y está en ambos conjuntos A y B. Por tanto, obtenemos una contradicción. Entonces la intersección de A y B es vacía. <=== Si A interseca a B es vacío. Demostramos que A + B = A U B. Tenemos que A U B = A \B U B \A U C, donde C es la intersección de A y B. Así que si C = conjunto vacío, entonces A U B = A \B U B \A = A + B