Entrevista sobre comercio - Pregunta sobre la maximización de la riqueza (¿variante de San Petersburgo?)

Question

Hace poco me hicieron esta pregunta y no estoy seguro de cómo responderla. No estoy seguro de que haya una respuesta concreta y singular, pero se agradecería cualquier idea general.

-Se permite jugar UNA ronda de un juego, cuyas reglas son las siguientes.

-Empiezas con una olla de 0\$

-Pagas 1 \$ to enter the game (so you start -1\$ )

-Entonces, lanzas una moneda. Si sale cara, 5 \$ are added to your pot. If tails, you lose 1\$ y el juego termina.

Ahora, si recibió cara en la ronda anterior, tiene la opción de volver a lanzar la moneda. Sin embargo, esta vez, las recompensas y las pérdidas se multiplican por 5x, por lo que podría tener 25 \$ added to your pot, or lose 5\$ (y que el juego termine).

Este último paso se repite indefinidamente (hasta que pierda o decida no dar la vuelta de nuevo).

Ahora, ¿cuál es la estrategia que tiene las mayores ganancias esperadas para jugar a este juego? Estoy confundido porque en cualquier momento, lanzar la moneda es una elección de valor esperado positivo, por lo que teóricamente, siempre deberías lanzar la moneda. Sin embargo, paradójicamente, si sigues lanzando la moneda indefinidamente, en algún momento perderás todo tu dinero, así que ¿cómo decidir cuándo dejar de lanzarla? Inicialmente pensé en cosas como la utilidad logarítmica, pero me di cuenta de que esto no se aplica a) por la definición del juego (maximizar la riqueza lineal), y tampoco se aplica en un sentido práctico ya que sólo estás jugando 1 ronda y no estás apostando alguna parte de tu riqueza para entrar en el juego.

Answer 1

Sí, yo diría que esto es una variación de, o al menos tiene ideas similares a, la paradoja de San Petersburgo.

Más formalmente, se le preguntó por una estrategia. ¿Qué es una estrategia? Es una función que te dice, dada una situación de juego, qué hacer. En este juego, la función consiste en decirte, para cada $n \ge 1$ si ha ganado $n$ vueltas en una fila, ya sea para continuar o para dejar. Es decir, una estrategia es una función: $\mathbb{N}^+ \to \{Continue, Quit\}$ .

Obviamente, para este juego sólo importa la primera vez $N$ la función le dice que salga, es decir $N(f) = \min_n \{n \in \mathbb{N}^+ \mid f(n) = Quit\}$ . Pero cualquier función con un $N(f)$ tiene un valor esperado menor que otro $f'$ con una mayor $N(f')$ Por ejemplo $N(f') = N(f)+1$ . Esto es fácil de demostrar.

Por lo tanto, ninguna función con $N(f)$ puede ser óptima. Por otro lado, la función "Nunca" tiene un valor esperado $0$ por lo que tampoco es óptimo. En resumen, no hay una función globalmente óptima (al igual que no hay un entero globalmente más grande).

El objetivo de la pregunta de la entrevista (supongo) debe haber sido ver si puedes explicar por qué maximizar el beneficio esperado (lineal) no es siempre lo correcto.