¿Cuál es la probabilidad de que el código de seguridad de mi bicicleta tenga los mismos seis dígitos?

Question

Para acceder a algunos servicios internos donde trabajo, se requiere un código de seguridad además de mis credenciales. Este código de seguridad aparece en una aplicación móvil y se compone de seis dígitos aleatorios del 0 al 9. Cada vez que lo abro, espero secretamente que los planetas se alineen y me salgan los seis del mismo número. El código cambia cada 30 segundos.

Suponiendo que este número de seis dígitos es 100% aleatorio, ¿cuál es la probabilidad de que al menos un caso en el último año tenga los seis dígitos coincidentes? Esta combinación no tiene que ser observada; sólo me gustaría saber si hay una probabilidad decente de que haya ocurrido alguna vez.

Answer 1

Como el código cambia dos veces por minuto, el número de códigos generados en un año es $365.2422\times24\times60\times2\approx1051898.$ Por lo tanto, el número esperado de apariciones de seis dígitos coincidentes en un año es $$\frac{10}{10^6}\times1051898\approx10.52.$$

El método correcto para calcular la probabilidad de que no haya ocurrencias ya se dio en la respuesta de turkeyhundt, pero antes de que se añadiera al post la información de que el código cambia dos veces por minuto. Este método da $$ \left(1-\frac{10}{10^6}\right)^{1051898}\approx\frac{27}{10^6}. $$ Se puede ver sin necesidad de calcular que la probabilidad de que no se produzcan seis coincidencias en un año determinado debe ser pequeña, ya que es igual a $$ \left[\left(1-\frac{1}{10^5}\right)^{10^5}\right]^{10.51898}, $$ que es aproximadamente $e^{-10.51898}$ como $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^n=e^r $$ y $10^5$ es bastante grande.

Answer 2

Si hay 6 dígitos, hay un millón de códigos. Hay 10 maneras de que todos sean el mismo dígito. Así que cada vez que se comprueba hay una posibilidad entre 100.000 de que todos los dígitos sean iguales.

Si lo comprobaras una vez al día durante un año, la probabilidad de que ninguno de ellos sea 6 del mismo dígito es $$\frac{99999}{100000}^{365}$$

y la posibilidad de que ocurra al menos una vez en ese año es $$1-\frac{99999}{100000}^{365}$$

Answer 3

Si quieres una forma fácil de estimar esto (en lugar de una respuesta exacta que requeriría un programa de ordenador o una calculadora de lujo para evaluar), observa según otra respuesta que la probabilidad de que ocurra una vez en un día determinado es $1/100000$ . Por lo tanto, las posibilidades de que ocurra en un año determinado no son más que $365/100000$ y como es tan pequeño, se puede demostrar que es una muy buena aproximación porque la probabilidad de tener 2 o más ocurrencias de tener todos los mismos dígitos en un año es muy pequeña.

Answer 4

Ya hay respuestas esencialmente correctas a esta pregunta, pero tal vez convenga explicarla un poco más. Hay diez posibilidades entre un millón de que los seis números del código sean iguales: 000000, 111111, ... 999999. Suponiendo una distribución uniforme en todo el millón de códigos posibles, ("100% aleatoria"), cada vez que se genera un nuevo código, la probabilidad de que los seis dígitos sean iguales es $$\frac{10}{1,\!000,\!000}=\frac{1}{100,\!000}.$$ Por lo tanto, la probabilidad de que los seis dígitos no ser el mismo es $$\frac{999,\!990}{1,\!000,\!000}=\frac{99,\!999}{100,\!000}.$$ Supongamos que el año pasado no fue bisiesto. Entonces $365\times 24\times 60\times 2=1051200$ códigos se generaron el año pasado, y suponemos que cada código se genera de forma independiente. Entonces la probabilidad de que ninguno de estos códigos tenía los seis dígitos iguales es $$\left(\frac{99,\!999}{100,\!000}\right)^{1051200}\approx 0.0000272$$ Por lo tanto, la probabilidad de que al menos uno de los códigos que se generó el año pasado tenía los seis dígitos iguales es $$1-\left(\frac{99,\!999}{100,\!000}\right)^{1051200} \approx 0.9999728$$ En otras palabras, es muy probable que el suceso por el que pregunta haya ocurrido.