(ejercicio del libro de análisis de Tao) Demostración de un lema relativo al conjunto de potencias de X

Question

Estoy atascado en un ejercicio del capítulo de conjuntos del libro de análisis de Terence Tao. Necesito demostrar el lema:

Lema : Dejemos que $X$ sea un conjunto. Entonces el conjunto $\{Y : Y \:\text{is a subset of}\: X\}$ es un conjunto.

Nota : El conjunto $\{Y : Y \:\text{is a subset of}\: X\}$ se conoce como el conjunto de potencias de $X$ definido como $2^X $

Puedo entender por qué el lema es cierto, pero no tengo ni idea de cómo demostrarlo. Además, el autor dio una pista que me pareció muy confusa, es la siguiente:

Sugerencia : empezar con el conjunto $\{0, 1\}^X$ y aplicar el axioma de sustitución, reemplazando cada función $f$ con el objeto $f^{-1}(\{1\})$ .

Answer 1

Pasando de la insinuación:

El conjunto $\{{}0,1\}{}^X$ es el conjunto de todas las funciones $f:X\rightarrow{}\{{}0,1\}{}$ . Podemos considerar para los elementos $x\in{}X$ que $f(x)=0$ significa que $x\notin{}Y$ y $f(x)=1$ significa que $x\in{}Y$ .

Para un subconjunto $Y$ de $X$ habrá una función $f_Y:X\rightarrow{}\{{}0,1\}{}$ describiendo los elementos de $Y$ como en el caso anterior. A continuación, utilizando el reemplazo, sustituimos la función $f_Y$ con $f_Y^{-1}(\{{}1\}{})=Y$ . Procedimiento para todas las funciones $f$ definimos todos los subconjuntos de $X$ y $\{{}0,1\}{}^X$ ser un conjunto implica que esto es un conjunto.

Esto es bastante complicado cuando llega a la sustitución, ya que no estoy seguro de cómo lo define su libro. Sin embargo, este debería ser un enfoque general.

Answer 2

Normalmente se trata de un axioma (el axioma del conjunto de potencias). Como aparentemente Tao adopta un axioma diferente en su lugar - existencia de $Y^X$ el conjunto de todas las funciones $X\to Y$ para cualquier $X,Y$ - tendrás que utilizarlo para demostrar el axioma habitual de Powerset.

Se puede utilizar la existencia de conjunto vacío y el axioma de emparejamiento para definir un conjunto $T = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ y demostrar que tiene dos elementos distintos. Cada $f\in T^X$ es esencialmente la función característica de un subconjunto de $X$ : $$ S_f = \{x\in X\mid f(x) \ne \emptyset\}, $$

y todo subconjunto de $S\subseteq X$ está representado por algún $f$ en $T^X$ a través de $$ I_S = \left\{(x,y) \in X\times T\mid y = \begin{cases} \{\emptyset\}&\text{if $x\in S$,}\\ \emptyset&\text{if $x\notin S$} \end{cases} \right\}, $$ $S_f$ y $I_S$ ambas existen por el Axioma de Especificación, y estas operaciones son inversas entre sí.

Ahora puedes utilizar el axioma de sustitución para demostrar que lo siguiente es un conjunto: $$ P := \{S_f\mid f\in T^X\}. $$ Utilizando $I_S$ se puede demostrar que $P = \mathcal{P}(X)$ es decir $P = \{S\mid S\subseteq X\}$ .