Encontrar bases para el núcleo y la imagen de T donde $T: P_2 \to M_2$

Question

T se define como $$T:P_2(\mathbb R) \to M_2 (\mathbb R) \ \text{where} \ T(ax^2 +bx+c)=\begin{pmatrix}-2a +c & b+c\\-3b-3c&6a-3c\\ \end{pmatrix}$$ y necesito encontrar bases para $ Im(T) $ y $ker(T)$

Empecé con $im(T)$ y consiguió $$Im(T) = \begin{pmatrix}-2a +c & b+c\\-3b-3c&6a-3c\\ \end{pmatrix} \\ = a\begin{pmatrix}-2 & 0\\0&6\\ \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix}0 &1\\-3 &0 \\ \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix}1 & 1\\-3 & -3\\ \end{pmatrix} $$

utilizando $$\begin{pmatrix}-2 & 0& 0&6\\ 0 & 1& -3&0\\ 1 &1& -3&-3\\ \end{pmatrix} $$ reducido a $$\begin{pmatrix}1 & 0& 0&-3\\ 0 & 1& -3&0\\ 0 &0& 0&1\\ \end{pmatrix} $$

Es la base para $Im(T)=\{(1, 0 ,0 ,3),(0,1,-3,0),(0,0,0,1)\}$ ?? $$..................................................................... $$

Para encontrar $Ker(T) = \{(a,b,c) where \begin{pmatrix}-2a+c & b+c\\ -3b-3c& 6a-3c\\ \end{pmatrix} =0 \}$

resolviendo $$(-2a+c)(6a-3c)-(b+c)(-3b-3c)=0$$ $$(2a-c)^2 -(b+c)^2=0$$ $$2a+b=0 \ \text{or} \ 2a-b-2c=0$$

¿pero ahora qué?

Answer 1

Que la base de $P_2$ es $(1,x,x^2)$ y la base de $M_2$ es $(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22})$ Donde

$a_{11}= \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}$ $a_{12}= \begin{pmatrix}0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}$ $a_{21}= \begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0 \end{pmatrix}$ $a_{22}= \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}$

Entonces $T(x^2)=-2\times a_{11}+6\times a_{22}$

$T(x^3)=-2\times a_{11}+6\times a_{22}$

$T(x^2)=1\times a_{12}+-3\times a_{21}$

$T(1)=1\times a_{11}+1\times a_{12}+-3\times a_{21}+(-3)\times a_{22}$

Por lo tanto, la matriz de la transformación lineal es:

$$\begin{pmatrix}-2 & 0& 1\\0&1&1\\ 0&-3&-3\\6&0&-3\end{pmatrix} \\ $$ Ahora encuentra la base del espacio de columnas de esta matriz (es decir, la base de la imagen de T) Usando la transformación elemental de filas esta matriz se reducirá a : $$\begin{pmatrix}-2 & 0& 1\\0&1&1\\ 0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \\ $$ Así que la base de la imagen de $T$ será $((-2 ,0, 0, 6), (0 ,1, 0 ,0))$ Y la base del espacio nulo será $ ((1/2,-1,1)$