Prueba $\arctan(x)$ puede estimarse mediante $\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}$ cuando $x$ es grande

Question

Lo que he probado:
Dejemos que $f(x)= \arctan(x)$ entonces por el teorema del valor medio, $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(a)$ , donde $0<a<x$ . Así que $f(x)=f'(a)x=\frac{x}{1+a^2}$ .
No sé a dónde ir desde aquí, y hay una pista para usar $\frac{\pi}{2}- \arctan(x)= \arctan\left( \frac{1}{x} \right)$

Answer 1

Utilizar la pista $\frac{\pi}{2}- \arctan(x) = \arctan\left( \frac{1}{x} \right)$ combinado con $\arctan(t) \approx t$ cuando $t$ está cerca de $0$ : $$ \arctan(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan\left( \frac{1}{x} \right) \approx \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} . $$ cuando $x$ es grande.

Answer 2

Una pista: Recordemos (a partir de la serie geométrica) que, para $|x|<1$ : $$\frac{1}{1+x^2}=\sum_{i=0}^\infty(-1)^nx^{2n}$$ Integrar esto para obtener una expansión en serie para $\arctan(x)$ y concluir que $\arctan(x)\approx x$ para los pequeños $x$ . ¿Qué le dice esto sobre el comportamiento de $\arctan$ para grandes valores de $x$ (o, por el contrario, valores pequeños de $1/x$ )?