$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función tal que para todo $x,y$ en $\mathbb{R}$ , $f(x+y)=f(x)+f(y)$ . Si $f$ es continua, entonces por supuesto tiene que ser lineal. Pero aquí $f$ NO es continua. Entonces demuestre que el conjunto $\big\{\big(x,f(x)\big) : x \text{ in } \mathbb{R}\big\}$ es denso en $\mathbb{R}^2$ .
Dejemos que $\Gamma$ sea el gráfico.
Si $\Gamma$ está contenida en un $1$ -subespacio dimensional de $\mathbb R^2$ Entonces, de hecho, coincide con esa línea. De hecho, la línea será necesariamente $L=\{(\lambda,\lambda f(1)):\lambda\in\mathbb R\}$ y para todos $x\in\mathbb R$ la línea $L$ contiene exactamente un elemento cuya primera coordenada es $x$ para que $\Gamma=L$ . Esto es imposible, porque implica claramente que $f$ es continua.
Así, vemos que $\Gamma$ contiene dos puntos de $\mathbb R^2$ que son linealmente independientes sobre $\mathbb R$ Llámalos $u$ y $v$ .
Desde $\Gamma$ es un $\mathbb Q$ -espacio subvectorial de $\mathbb R^2$ contiene el conjunto $\{au+bv:a,b\in\mathbb Q\}$ y es obvio que esto es denso en el plano.
Una prueba de la astucia. No se necesita el cierre para demostrar la existencia de dos puntos l.i. La discontinuidad por sí sola asegura que la gráfica no puede estar contenida en una línea que pase por $(0,0)$ .
Dejemos que $\Gamma = \{ (x,f(x)) \}_{x \in \mathbb{R}}$ . Primero demuestre que el conjunto $\Delta = \{ x | f(x) \neq 0 \}$ es denso en $\mathbb{R}$ . Entonces demuestre que $f$ es discontinuo en $0$ y que esto implica que el cierre de $\Gamma$ contiene $\{0\}\times \mathbb{R}$ . A continuación, demuestre que el cierre de $\Gamma$ contiene $\{x\}\times \mathbb{R}$ , $\forall x \in \Delta$ . Es de suponer que el resultado será obvio en este punto.
Como sabemos si f es discontinua el núcleo f debe ser denso, entonces ¿cómo podría ser capital delta denso?
Si $f(x_0) \neq 0$ para algunos $x_0$ Entonces, como $f(q x) = q f(x)$ , $\forall q \in \mathbb{Q}$ , claramente $\Delta$ es denso en $\mathbb{R}$ .
$ \def \Q {\mathbb Q} \def \R {\mathbb R} \def \Rp {\mathbb R _ +} \def \Rt {\mathbb R ^ 2} $ Supongamos que $ f : \R \to \R $ es aditivo, y tenemos $ f ( x _ * ) \ne k x _ * $ para algunos $ x _ * \in \R $ , donde $ k = f ( 1 ) $ . Definir $ g : \R \to \R $ con $ g ( x ) = f ( x ) - k x $ . Entonces es sencillo verificar que $ g $ es aditivo, $ g ( 1 ) = 0 $ y $ y _ * \ne 0 $ , donde $ y _ * = g ( x _ * ) $ . Sabemos que una función aditiva es lineal sobre $ \Q $ y por lo tanto $ f $ y $ g $ son lineales sobre $ \Q $ . En particular, tenemos $ g ( q ) = 0 $ para todos $ q \in \Q $ .
Ahora bien, hay que tener en cuenta que para cualquier $ \alpha , a , b \in \Q $ Si definimos $ X = \alpha + b ( x _ * - a ) $ y $ Y = g ( X ) $ tenemos $$ Y = g \big( \alpha + b ( x _ * - a ) \big) = g ( \alpha ) + b g ( x _ * ) - b g ( a ) = b y _ * \text . $$ Por lo tanto, dado cualquier $ \alpha , \beta \in \Q $ y cualquier $ r \in \Rp $ si elegimos $ a , b \in \Q $ tal que $ b \ne 0 $ , $ \left| \frac \beta { y _ * } - b \right| < \frac r { \sqrt 2 | y _ * | } $ y $ | x _ * - a | < \frac r { \sqrt 2 | b | } $ , entonces tendremos $ d \big( ( X , Y ) , ( \alpha , \beta ) \big) < r $ , donde $ d $ es el Métrica euclidiana sur $ \R ^ 2 $ . Esto demuestra que el gráfico de $ g $ es denso en $ \Rt $ ya que hay una bola centrada en un punto con coordenadas racionales contenida en cualquier bola dada en $ \Rt $ .
Por último, hay que tener en cuenta que la densidad del gráfico de $ g $ en $ \Rt $ implica que de $ f $ ya que $ x \mapsto k x $ es una función continua. Para explicarlo mejor, supongamos que $ \epsilon \in \Rp $ se da. Para cualquier $ \alpha \in \R $ Hay un poco de $ \delta \in \Rp $ tal que para todo $ X \in \R $ , si $ | X - \alpha | < \delta $ entonces $ | k X - k \alpha | < \frac \epsilon 2 $ . Como el gráfico de $ g $ es denso en $ \Rt $ dado cualquier $ \alpha , \beta \in \R $ Hay un poco de $ X \in \R $ tal que $ d \Big( \big( X , g ( X ) \big) , ( \alpha , \beta - k \alpha ) \Big) < \min \left( \delta , \frac \epsilon 2 \right) $ . Como esto implica $ | X - \alpha | < \delta $ tenemos $ | k X - k \alpha | < \frac \epsilon 2 $ y por lo tanto $$ \begin {align*} d \Big( \big( X , f ( X ) \big) , ( \alpha , \beta ) \Big) & \le d \Big( \big( X , f ( X ) - k X \big) , ( \alpha , \beta - k \alpha ) \Big) + d \Big( \big( 0 , k X \big) , ( 0 , k \alpha ) \Big) \\ & = d \Big( \big( X , g ( X ) \big) , ( \alpha , \beta - k \alpha ) \Big) + | k X - k \alpha | \\ & < \frac \epsilon 2 + \frac \epsilon 2 = \epsilon \text . \end {align*} $$ Por lo tanto, podemos encontrar un punto en la gráfica de $ f $ en cualquier bola en $ \Rt $ es decir, el gráfico de $ f $ es denso en $ \Rt $ .
Esta prueba puede parecer demasiado complicada, por ejemplo, en comparación con las de Wikipedia o ProofWiki . La idea es utilizar la continuidad de las funciones lineales para reducir el problema al caso más restringido de $ g $ para el que muchos cálculos son más sencillos, debido a que su valor es cero en los puntos racionales. Esta idea puede resultar útil en casos más complicados, en los que hay muchos más términos que manejar. Por ejemplo, véase mi respuesta a la pregunta " Ecuación funcional de la ley del paralelogramo: $ f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 \big( f ( x ) + f ( y ) \big) $ ", en el que esencialmente estoy tratando de hacer lo mismo con funciones biaditivas.
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Se da una prueba, por ejemplo, en Ecuaciones funcionales en varias variables Por J. Aczél, Jean G. Dhombres p.14 .