Suma de elementos de la matriz inversa (sin derivar la matriz inversa) utilizando métodos elementales.

Question

Tengo la matriz $$\begin{pmatrix} 3&2&2&\\ 2&3&2\\ 2&2&3 \end{pmatrix}.$$ Hallar la suma de elementos de la matriz inversa sin calcular la inversa .

He visto este puesto pero necesito un método mucho más elemental. He comprobado que la inversa existe, y $\Delta=7$ . La respuesta es $\frac37$ .

Lo que hice, es por ( no es así )un simple cálculo, he calculado que toda matriz de la forma $\begin{pmatrix} a&b&b&\\ b&a&b\\ b&b&a \end{pmatrix}$ siempre consigue una inversa de la forma $$\frac{a-b}{a+2b} \begin{pmatrix} a+b&-b&-b&\\ -b&a+b&-b\\ -b&-b&a+b \end{pmatrix}.$$

Y mediante esta técnica, se obtiene el resultado esperado para mi caso $a=3, b=2$ .

Pero no creo que sea un método elegante. Porque necesito demostrar este lema, y luego tener que reclamar el resultado. Y también, me dijeron en la pregunta no calcular la inversa, donde yo, aquí, estoy calculando la inversa de un caso general.

Answer 1

El post que enlazas te dice que la suma que quieres es $(\vec{1})^t\cdot A^{-1}\cdot \vec{1}$ (donde $\vec{1}$ es el vector con todas las entradas iguales a $1$ ). Su matriz tiene la propiedad de que todas las líneas tienen la suma de los elementos igual a $7$ esto equivale a escribir $$A\cdot \vec1= 7\vec1,$$ y de ahí se obtiene que $$A^{-1}\cdot \vec{1}=\frac{1}{7}\vec1.$$ De este modo, usted tiene inmediatamente $$(\vec{1})^t\cdot A^{-1}\cdot \vec{1}=\frac17(\vec{1})^t\cdot \vec1=\frac{3}{7}.$$

Answer 2

Observe que $u^T=(1,1,1)$ es un vector propio con valor propio $7$ .

Así que tenemos $Au=7u$ y por lo tanto $A^{-1}u=\frac{1}{7}u$ .

Pero la suma de los elementos de $\frac{1}{7}u$ es simplemente la suma de los elementos de $A^{-1}$ . Así que la respuesta es $\frac{3}{7}$ .