Límite del producto infinito $ \lim_{x\to 1^-} \prod_{n=0}^{\infty } \left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n}$

Question

¿Cómo calculamos este límite?

$$ \lim_{x\to 1^-} \prod_{n=0}^{\infty } \left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}\right)^{x^n}$$

Intenté tomar el logaritmo y convertir la suma resultante de los logaritmos en una integral pero no pude proceder después. La respuesta se da como $\frac{2}{e}$ lo que probablemente significa que tomar el registro es el primer paso. Se agradece cualquier ayuda.

Editar:

Esto se da como solución, pero no pude entender de dónde viene el paso 3 (expresan el límite entre dos desigualdades).

Answer 1

Con $t_n=\ln(1+x^n)$ es decir $x^n=e^{t_n}-1$ tenemos $$\sum^\infty_{n=0}x^n\,(\ln(1+x^{n+1})-\ln(1+x^n))=-\sum^\infty_{n=0}(e^{t_n}-1)\,(t_n-t_{n+1}).$$ Desde $t_0=\ln 2$ y $t_n\to0$ como $n\to\infty$ la suma en el lado derecho es una suma integral para $$\int^{\ln2}_0(e^t-1)\,dt$$ y como $0<t_n-t_{n+1}\le t_0-t_1=\ln2-\ln(1+x)\to0$ como $x\to1^{-}$ , $$\lim_{x\to1^{-}}\sum^\infty_{n=0}x^n\,(\ln(1+x^{n+1})-\ln(1+x^n))=-\int^{\ln2}_0(e^t-1)\,dt=\ln2-1.$$ EDIT: Aquí tenemos una suma integral infinita, pero esta suma es la integral de una función escalonada con valor $e^{t_n}-1$ en $(t_{n+1}, t_n)$ y esta función converge a $e^t-1$ monótonamente, debido a la monotonía de $e^t-1$ . Por tanto, la convergencia también está garantizada en este caso.