Como dice la pregunta, si tenemos la incrustación compacta de los espacios de Hilbert $V \subset H$ es $L^2(0,T;V) \subset L^2(0,T;H)$ ¿también compacto?
Si no es cierto en general, ¿es cierto para $V=H^1(\Omega)$ y $H=L^2(\Omega)$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Se quiere saber si la bola unitaria de $L^2(0,T;V)$ es relativamente compacto (=tiene cierre compacto) en $L^2(0,T;H)$ . Un tratamiento legible de la compacidad relativa en los espacios de Lebesgue-Bochner se encuentra en Estrechez, equicontinuidad integral y compacidad para problemas de evolución en espacios de Banach de Rossi, y Savaré, véase el Teorema 1. En pocas palabras, se necesita: acotación con respecto a algún espacio de Banach compactamente incrustado en $H$ (que tiene), y la equicontinuidad integral (que tiene no tienen). Sin equicontinuidad integral, un contraejemplo es proporcionado por $f_n(t)=e^{int}\varphi $ , donde $\varphi$ es cualquier elemento fijo de $V$ .
