Un conjunto $X$ que contiene 2 elementos que también son subconjuntos de $X$

Question

La pregunta se resume más o menos en el título. Estoy tomando un curso de introducción a las Matemáticas Discretas y nuestros profesores nos pidieron que encontráramos un conjunto $X$ que contenga sólo 2 elementos y que esos elementos sean también subconjuntos de X. El profesor también dijo que hay una única respuesta a esta pregunta, lo que significa que no puede haber más de 1 respuesta correcta.

$X = \{a, b\} \ : a \subset X, b \subset X$

Una opción que se me ocurrió es $X = \{\phi, X \}$ (el 2º elemento es el complemento de X) ¿Es esto correcto? Si no, ¿cuál sería la respuesta correcta?

Answer 1

Una pista.

Este es un conjunto con un elemento que resulta ser un subconjunto de sí mismo: $$ A = \{ \phi \} . $$ Su conjunto de dos elementos tendrá que tener $A$ como uno de sus elementos ...

(Creo que esta es una pregunta bastante complicada para los principiantes de las matemáticas discretas).

Answer 2

$X=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ lo hará.

$\emptyset \in X$ y siempre $\emptyset \subseteq X$ .

$\{\emptyset\} \in X$ y $\{\emptyset\} \subseteq X$ como único elemento de $\{\emptyset\}$ también está en $X$ .

Estos conjuntos se denominan transitivo por cierto. (La terminología proviene de la observación de que $x$ es transitivo si $\forall y,z: (y \in z) \land (z \in x) \implies y \in x$ )

Answer 3

¿Cómo lo haríamos?

Bueno, primero $X=\{a, b\}$ y $a\subseteq X$ significa que $a=\emptyset$ o $a=\{a\}$ o $a=\{b\}$ o $a=X$

Y opciones similares se aplican para $b$ . La segunda y la cuarta son imposibles, ya que un conjunto no puede ser miembro de sí mismo.

Tomemos la primera $a=\emptyset$ . Entonces $b\neq a$ así que la única posibilidad es $b=\{\emptyset\}$ y esto, de hecho, funciona.

La alternativa es comenzar con $a=\{b\}$ en cuyo caso no se nos permite $b=\{a\}$ y debe tener $b=\emptyset$ y obtenemos la misma solución.

Answer 4

Usted define $X$ en términos de sí mismo, lo que se consideraría lógicamente poco sólido. El complemento también se define sólo con respecto a algún conjunto ambiental, pero aquí no se define ningún conjunto ambiental.

Aquí está la respuesta: $$X=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$$ Recuerda que el conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto.