Así que estoy tratando de entender lo que sucede en Euler Implícito (hacia atrás) y Explícito (hacia adelante) en Ecuaciones Diferenciales Estocásticas
Empezaré por lo explícito. Digamos que tengo la siguiente EDE conocida como Movimiento Browniano Geométrico $dX(t)=aX(t)dt + bX(t)dW(t)$ , para $a,b$ constantes
El esquema explícito es el siguiente
$X_{n+1} = X_n + aX_n\Delta t+bX_n\Delta W_n$ entonces puedo reescribir esto como
$X_n=\prod^{n-1}_{j=0} (1 + a\Delta t + b\Delta W_j)X_0$ .
Ahora puedes demostrar que tienes un segundo momento finito calculando $E[X_n^2]=\prod_{j=0}^{n-1}((1+a\Delta t)^2 + b^2 \Delta t)X_0$ . Así que ahora $E[X_n^2]\rightarrow0$ como $n\rightarrow\infty$ si $|(1+a\Delta t)^2 + b^2 \Delta t)|=1 + 2\Delta t (a+\frac{b^2}{2}+\frac{a^2}{2}\Delta t )<1$
por lo que el paso de tiempo $\Delta t$ debe ser $0<\Delta t< \frac{-2(a+\frac{b^2}{2})}{a^2}$
Ahora el esquema de Euler totalmente implícito es como $X_{n+1}=X_n + aX_{n+1}\Delta t + bX_{n+1}\Delta W_n$ que se puede reescribir como $X_n=X_0\prod_{j=0}^{n-1}\frac{1}{1-a\Delta t - b\Delta W_j}$ pero no tiene momentos finitos.
Si mi investigación y mis cálculos son correctos, ¿qué podría hacer alguien para sortear este problema y utilizar el euler implícito en una ecuación diferencial estocástica rígida?
