Base del núcleo de una matriz

Question

Dado $\theta>0$ . Sea $H$ sea $5 \times 6$ matriz

$$\left[\begin{matrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ \theta & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right]$$ Consideremos el subespacio $S=\{x\in\mathbb{R}^6:Hx=0$ }. Conozco el subespacio $S$ tiene dimensión $1$ . Sin embargo, no pude encontrar la base de $S$ . Podría alguien ayudarme por favor. Gracias de antemano.

Answer 1

Realizamos las operaciones de fila: $$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ \theta & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{R_5 \gets \tfrac{1}{\theta} R_5} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{\theta} \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{R_i \gets R_{\alpha(i)} \text{ where } \alpha=(15432)} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{\theta} \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{R_i \gets R_i-R_1 \text{ for } i \in \{2,3,4\}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{\theta} \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{\theta} \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{\theta} \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & \tfrac{1}{\theta} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} \xrightarrow{R_i \gets -R_i \text{ for } i \in \{2,3,4\}} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{\theta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{\theta} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{\theta} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{\theta} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$$ que está en forma de escalón reducido. Así que la matriz tiene rango $5$ y, por lo tanto, la nulidad es $6-5=1$ por el Teorema de Rango-Nulidad .

Por inspección el espacio nulo es: $$\mathrm{span}\{(1,1,1,1,\theta,\theta)\}.$$

Answer 2

Recordar el teorema de la nulidad del rango, es decir

$rank(A)+rank(nullspace)=n$

en su caso $n=6$ y lo que necesitas es encontrar el rango de una matriz dada

para encontrar la base del espacio nulo, esto puede ayudarte

Encontrar la base de un espacio nulo