Calcular la homología y la cohomology de conexión de la suma

Question

Supongamos $M$ $N$ se conectan dos orientado suave colectores de dimensión $n$. Convencionalmente, la gente usa $M\#N$ para denotar la connecte suma de los dos. (El conectado suma se construye a partir de la eliminación de una $n$-ball de cada colector y pegado de la frontera.) Creo que debe haber un enfoque general de la búsqueda de la homología y la cohomology grupos de $M\#N$ de la homología y la cohomology grupos de $M$ amd $N$. Sin embargo, el uso de Mayer-Vietoris secuencia se vuelve bastante complicado whent los espacios son complicadas. Por ejemplo: 1) $M=S^1 \times S^3$, $N= \mathbb{CP}^2$. La dificultad proviene de la comprensión de la mapa de $H^i(U\cap V)\rightarrow H^{i+1}(M\#N)$.

Si definimos el $M\#_{rev}N$ a ser conectado a la suma, sin embargo, pegado a la $n$-ball en el orden inverso, entonces podemos pedir el mismo problema. el caso de $n=2$ es más fácil pensar de la imagen cuando la orientación se invierte. También es más fácil ya que el encolado es "fijo" en el sentido de que hay sólo un parámetro discribing el límite de $n$-ball, aka, $S^1$. ¿Qué sucede cuando $n$ va más?

Agradecería si alguien podría explicar esta cuestión general con ejemplos ( $M\#N$ $M\#_{rev}N$ , donde $M=S^1 \times S^3$, $N= \mathbb{CP}^2$) en el contexto.

Answer 1

El procedimiento para la búsqueda de homología y cohomology de los espacios en cuestión es un buen truco. A partir de aquí, voy a tratar de la homología de los casos, pero el cohomology sigue por los mismos argumentos. El colapso de la $S^{n-1}$ está adhiriendo a lo largo de un punto - este vueltas $M\# N$ a $M\vee N$. Desde $(M\# N, S^{n-1})$ es un buen par, la homología puede ser identificado con la relación de homología de los par $(M\# N,S^{n-1})$. A partir de esto, se obtiene el siguiente largo de la secuencia exacta:

$$\cdots\to \widetilde{H_i}(S^{n-1})\to \widetilde{H_i}(M\# N) \to \widetilde{H_i}(M\vee N)\to\cdots$$

Por un sencillo de Mayer-Vietoris argumento, tenemos que $\widetilde{H}_i(M\vee N)\cong \widetilde{H}_i(M)\oplus \widetilde{H}_i(N)$. Desde $\widetilde{H_i}(S^{n-1})$ es cero excepto para $i=n-1$, hemos automáticamente que $H_i(M\# N)\cong H_i(M\vee N)\cong H_i(M)\oplus H_i(N)$$i\neq n-1,n$. El único caso interesante es el siguiente:

$$0\to \widetilde{H_n}(M\# N)\to \widetilde{H_n}(M\vee N) \to \widetilde{H}_{n-1}(S^{n-1})\to \widetilde{H}_{n-1}(M\# N)\to \widetilde{H}_{n-1}(M\vee N) \to 0$$

Ahora, tenemos que empezar a meterse en algunos casos dependiendo de si ninguno, uno o ambos de $M,N$ son orientables. En el caso de que ambos son orientables, la secuencia de arriba se convierte en

$$0\to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \widetilde{H}_{n-1}(M\# N)\to \widetilde{H}_{n-1}(M\vee N) \to 0$$

como sus conectado suma también es orientable. A partir de esto, podemos ver que $\widetilde{H}_{n-1}(M\# N)\to \widetilde{H}_{n-1}(M\vee N)$ debe ser un isomorfismo.

Si sólo uno de los $M,N$ es orientable, entonces sus conectado suma es no orientable, y ocurre lo siguiente:

$$0\to 0 \to \mathbb{Z}\oplus0 \to \mathbb{Z} \to \widetilde{H}_{n-1}(M\# N)\to \widetilde{H}_{n-1}(M\vee N) \to 0$$

en el que caso de que todavía tenemos que $\widetilde{H}_{n-1}(M\# N)\to \widetilde{H}_{n-1}(M\vee N)$ debe ser un isomorfismo.

Si ninguno de $M,N$ son orientables, a continuación, sus conectado suma es no orientable, en cuyo caso el largo exacto de la secuencia es el siguiente:

$$0\to 0 \to 0 \to \mathbb{Z} \to \widetilde{H}_{n-1}(M\# N)\to \widetilde{H}_{n-1}(M\vee N) \to 0$$

y por lo tanto $\widetilde{H}_{n-1}(M\# N)$ es una extensión de $\widetilde{H}_{n-1}(M\vee N)$$\mathbb{Z}$. Para averiguar qué extensión es, uno tiene que inspeccionar el mapa de $S^{n-1}\to M\# N$ y el mapa correspondiente en la homología. No hay nada demasiado sorprendente que puede suceder- $H^{n-1}(M\# N)$ es la suma directa de un libre abelian grupo y de un número finito de abelian grupo.

Tenga en cuenta que durante este argumento, nunca fue necesario hablar sobre la orientación de la encolado - lo $M\# N$ $M\#_{rev}N$ tienen la misma homología/cohomology. No hay ninguna descripción de $S^{n-1}$ fue utilizado alguna vez salvo por haber reducido la homología sólo de grado,$n-1$, por lo que el proceso no se preocupa mucho acerca de lo que la dimensión de su colectores.

Ahora, por ejemplo, donde el $M=S^1\times S^3$ y $N=\mathbb{C}P^2$. $M$ tiene homología $H_0\cong H_1\cong H_3\cong H_4\cong \mathbb{Z}$ y el resto de los grupos cero, mientras que $N$ tiene homología $H_0\cong H_2\cong H_4\cong \mathbb{Z}$ y el resto de los grupos cero. Mediante el procedimiento anterior, tenemos que la homología de $M\# N$ es como sigue: $H_0\cong H_1\cong H_2\cong H_3\cong H_4\cong \mathbb{Z}$. El resultado es el mismo para $M\#_{rev}N$.