Es $\frac{\sin(2z)}{e^z-1}$ holomorfo en $z=0$ ?

Question

Es $f(z)=\frac{\sin(2z)}{e^z-1}$ holomorfo en $z=0$ ? El dominio de $f$ es $\mathbb C$ \ $\{0\}$ Así que no es holomorfo en $0$ ?

Answer 1

No tiene sentido preguntarse si una función que no está definida en $0$ es holomorfo allí o no. Sin embargo, es cierto que podemos extender $f$ a una función holomorfa cuyo dominio contiene $0$ . Esto es así porque $$\lim_{z\to0}\frac{\sin(2z)}{e^z-1}=2.$$ Así que, $0$ es una singularidad removible y por lo tanto se puede aplicar Teorema de Riemann sobre las singularidades extraíbles .