Estoy tratando de encontrar la distancia desde el punto $(8, 0, -6)$ y el avión $x+y+z = 6$ . He intentado resolverlo pero me sigue saliendo mal. ¿Alguien puede ayudarme en esto? Cualquier ayuda la agradecería mucho.
Lo que sigue es mi trabajo:
$$d = \sqrt{(x-8)^2 + (y-0)^2 + (z+6)^2}$$
desde $x+y+z = 6$ , $z = 6-x-y$ Así que
\begin{align*} d &= \sqrt{(x-8)^2 + (y-0)^2 + (-x-y+12)^2} \\ d^2 &= (x-8)^2 + (y-0)^2 + (-x-y)^2 \end{align*}
Encontrar la derivada parcial $f_x$ y $f_y$ y puntos críticos
\begin{align*} f_x &= 2(x-8) + 2(-x-y+12) \\ &= 24-2y \quad (\text{set }= 0) \\ &= \text{critical point }y = 4 \\ f_y &= 2y + 2(-x-y+12) \\ &= 24 - 2x \quad (\text{set }= 0) \\ &= \text{critical point }x = 12 \\ \end{align*}
Enchufar $x = 12$ y $y = 4$ a la ecuación original
$$d = \sqrt{(x - 8)^2 + (4)^2 + (-12-4+12)^2} = \sqrt{48}$$
