¿Cómo encuentro la distancia de un punto a un plano?

Question

Estoy tratando de encontrar la distancia desde el punto $(8, 0, -6)$ y el avión $x+y+z = 6$ . He intentado resolverlo pero me sigue saliendo mal. ¿Alguien puede ayudarme en esto? Cualquier ayuda la agradecería mucho.

Lo que sigue es mi trabajo:

$$d = \sqrt{(x-8)^2 + (y-0)^2 + (z+6)^2}$$

desde $x+y+z = 6$ , $z = 6-x-y$ Así que

\begin{align*} d &= \sqrt{(x-8)^2 + (y-0)^2 + (-x-y+12)^2} \\ d^2 &= (x-8)^2 + (y-0)^2 + (-x-y)^2 \end{align*}

Encontrar la derivada parcial $f_x$ y $f_y$ y puntos críticos

\begin{align*} f_x &= 2(x-8) + 2(-x-y+12) \\ &= 24-2y \quad (\text{set }= 0) \\ &= \text{critical point }y = 4 \\ f_y &= 2y + 2(-x-y+12) \\ &= 24 - 2x \quad (\text{set }= 0) \\ &= \text{critical point }x = 12 \\ \end{align*}

Enchufar $x = 12$ y $y = 4$ a la ecuación original

$$d = \sqrt{(x - 8)^2 + (4)^2 + (-12-4+12)^2} = \sqrt{48}$$

Answer 1

Su planteamiento es bueno, y de hecho puede llevar a la fórmula general mencionada en las otras respuestas.

Sólo has cometido algunos errores de cálculo.

Por ejemplo, usted dice que $\frac{\partial}{\partial x} \left[ (x-8)^2+y^2+(-x-y+12)^2 \right]$ es $2(x-8)+2(-x-y+12)$ cuando en realidad es $2(x-8)-2(-x-y-12)$ . Has olvidado la regla de la cadena.

Se comete un error similar en la regla de la cadena al calcular la derivada parcial con respecto a $y$ .

Creo que si arreglas esto, deberías poder terminar tu cálculo como lo empezaste.

Nota para otros carteles: Creo que, por lo general, es de mayor valor pedagógico ayudar a un alumno a darse cuenta de cómo arreglar su propio razonamiento, en lugar de suministrarle un método totalmente diferente. Nuestro principal objetivo debería ser capacitar a los estudiantes para que se den cuenta de que tienen el poder de pensar en estas cosas de forma lógica y creativa.

Answer 2

La fórmula de la distancia es $$D=\frac{|ax_0+by_0 +cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{4}{\sqrt3}.$$

Answer 3

La distancia más cercana será a lo largo de una línea perpendicular al plano o paralela a $(1,1,1)$ . Desde $8+0+-6=2$ debemos añadir $\frac{4}{3}$ a cada componente para que $x+y+z$ ahora es igual a $6$ . Por lo tanto, la distancia es $|(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3})|=\sqrt{3\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

Answer 4

Es $$\frac{|8+0-6-6|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt3}.$$ He utilizado la siguiente fórmula.

La distancia desde el punto $(x_1,y_1,z_1)$ al avión $ax+by+cz+d=0$ es $$\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$

Además, podemos terminar a tu manera.

De hecho, por C-S $$\sqrt{(x-8)^2+y^2+(z+6)^2}=\frac{1}{\sqrt3}\sqrt{(1^2+1^2+1^2)((x-8)^2+y^2+(z+6)^2)}\geq$$ $$\geq\frac{1}{\sqrt3}\sqrt{(x-8+y+z+6)^2}=\frac{4}{\sqrt3}$$ y conseguimos la distancia de nuevo.

Answer 5

Opción:

La normal del plano: $(1,1,1)$ ,

Normalizado (es decir, de longitud unitaria): $(1/√3)(1,1,1)$

Línea a través de $(8,0,-6)$ :

$\vec r= (8,0,-6)+t (1/√3)(1,1,1)$ .

Determinar $t$ cuando la línea se cruza con el plano:

$(8+t/√3)+t/√3+(-6+t/√3)=6;$

$3(t/√3)=4$ ;

$t= 4/√3.$

Distancia = $4/√3$ (¿Por qué?).