Pregunta sobre una extensión de una función analítica

Question

Entorno: Dejemos que $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ y supongamos que $f$ es analítico en $\Omega' = \Omega - \{a\}$ . Supongamos que $a \in \Omega$ satisface la propiedad crucial de que

$$ \lim_{z \to a} (z - a)f(z) = 0 $$

Ahora bien, si dejamos que $C$ sea un círculo en $\Omega$ sobre $a$ tenemos que la fórmula integral de Cauchy es válida para todo $z \in \Omega'$ para que podamos decir

$$ f(z) = {1 \over 2 \pi i} \int_C {f(\zeta)\ d\zeta \over \zeta - z} $$

Desde $f(z)$ es analítica por hipótesis, podemos saber inmediatamente que la función

$$ \int_C {f(\zeta)\ d\zeta \over \zeta - z} $$

es analítico en $\Omega'$ por derecho propio.

Pregunta: ¿Por qué esta función integral es analítica en todo $\Omega$ ? Es decir, por qué sabemos que

$$ \int_C {f(\zeta)\ d\zeta \over \zeta - a} $$

¿tiene un derivado?

Answer 1

Desde $f(z)$ es analítica por hipótesis, podemos saber inmediatamente que la función...

No, esto no es lo que ocurre realmente. Para cualquier integrable función $f$ sobre el círculo (u otro contorno $C$ ), la función $$F(z) = \int_C \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta -z }$$ es analítico en $\mathbb C\setminus C$ es decir, en el complemento del conjunto de integración. Una forma de demostrarlo es fijar $z_0\notin C$ y ampliar $$\frac{1}{\zeta-z} = \frac{1}{\zeta-z_0} \frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}} = \frac{1}{\zeta-z_0} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right)^n $$ La serie de potencias se puede integrar término a término dentro del disco $|z-z_0|<r$ donde $r$ es la distancia desde $z_0$ a $C$ . Por lo tanto, $F$ es holomorfo.

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La cuestión principal es por qué $F$ está de acuerdo con $f$ en el disco delimitado por $C$ (que es el único lugar donde necesitamos $F$ de todos modos). Para ver esto, aplique la fórmula integral de Cauchy a $f$ en el anillo cuyo límite exterior es $C$ y el límite interior es un círculo mucho más pequeño $C_\epsilon$ centrado en $a$ : $$f(z) = \int_C \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta -z } - \int_{C_\epsilon} \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta -z }$$ La integral sobre $C_\epsilon$ llega a cero a medida que $\epsilon\to 0$ Aquí es donde la suposición $\lim_{z \to a} (z - a)f(z) = 0$ se utiliza. Concluimos que $f(z) = F(z)$ en el disco delimitado por $C$ , excepto en $a$ . La función $F$ es la extensión holomórfica de $f$ que queríamos.