Estoy tratando de deducir cómo los matemáticos de decidir sobre qué axiomas a utilizar y por qué no otros axiomas, me refiero a que seguramente hay una infinita cantidad de axiomas. Lo que estoy tratando de llegar es que seguramente si los matemáticos elegir los axiomas entonces estamos inventando nuestras propias matemáticas, seguramente, que es lo que es, sino como se ha practicado y construido durante tanto tiempo, entonces es demasiado tarde para cambiar todo esto lo hemos tenido que adaptar y crear nuevas reglas?? No estoy seguro de lo claro que lo que yo estoy pidiendo es o si es incluso comprensible, pero agradecería cualquier respuesta o comentario, gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Las matemáticas no existen en un vacío. Es fuertemente relacionados, a través de aplicaciones, para el mundo que nos rodea. Los matemáticos elegir los axiomas de acuerdo a lo que funciona bien cuando tratamos de utilizar los resultados y conclusiones obtenidos a partir de estos axiomas para comprender mejor los problemas (por lo general de la ciencia) que nos interesa.
Para hacer una analogía con la pintura, un pintor sin duda puede mezclar colores en un sinfín de combinaciones y la propagación de la pintura en el lienzo, en la igualmente un sinfín de posibilidades. Pero, los artistas no sólo al azar propagación de la pintura en el lienzo. La razón es que su arte no existe en un vacío. Está estrechamente relacionada con la cultura humana, el mundo físico que nos rodea, y la predisposición del cerebro humano. Estos dictar lo que se considera de buen arte, y así guiar al artista en la creación de una buena pintura.
Hay (al menos) cuatro tipos de fuentes para la axiomática de los sistemas. Aquí están los escenarios que tengo en mente:
(1) Algunos de los matemáticos de la estructura, como el avión en la geometría o el sistema de los números naturales, ha sido reconocido como útil para aplicaciones y, por tanto, ha sido estudiado ampliamente. Tantos hechos se sabe acerca de él. En esta situación, uno puede querer organizar los hechos en un sistema lógico, mostrando que los hechos son consecuencias de que otros hechos. Por supuesto, para evitar la circularidad, algunos hechos han de ser tomadas como basic y, a continuación, otros hechos han demostrado ser las consecuencias de estos. Los hechos básicos son llamados axiomas o postulados, y es deseable para hacerlos tan simple y tan pocas como sea posible, de modo que uno no está asumiendo cosas que más bien podrían ser probado. Entre el axioma de sistemas que surgieron de esta manera se Euclides los axiomas de la geometría (y, en un más riguroso de edad, Hilbert axiomas para la geometría) y los axiomas de Peano para la aritmética.
(2) han surgido dudas acerca de la legitimidad de algunos argumentos, por lo tanto es necesario decir exactamente lo que los supuestos que subyacen a esos argumentos. El ejemplo más claro de esto es Zermelo (1908) axiomatization de la teoría de conjuntos. El problema inmediato que enfrenta Zermelo era el axioma de elección. Ha sido utilizado como si obvio, por ejemplo, en la prueba de que la unión de countably muchos contable de conjuntos contables. Pero, cuando Zermelo la señaló como una declaración explícita y utilizado en su prueba (1904) que todos los conjuntos puede ser bien ordenado, él tiene un montón de flak. También hubo otros puntos en la necesidad de aclaración, tales como el Cantor de la distinción entre consistente multiplicidades (conjuntos de) e inconsistente. Así Zermelo establecer un sistema de axiomas sobre los que basar no sólo la prueba de su buen orden teorema sino también en el conjunto de la teoría de los argumentos de la época. (Hoy en día, podemos ver los axiomas de Zermelo, así como más tarde, las extensiones por Fraenkel y otros, como la caída en el escenario (1) anterior, como systematizations de los hechos conocidos acerca de la jerarquía acumulativa de conjuntos. Pero, hasta donde yo sé, el acumulado de jerarquía no se menciona en Zermelo los escritos hasta el año 1930. Así que respecto a su introducción en 1908 como un escenario diferente.)
(3) la Gente nota que muy similar ideas y de las pruebas que se están produciendo en diferentes áreas. En la escuela elemental de la aritmética de la suma de números enteros o números reales o números complejos es muy similar al comportamiento de la operación de composición de permutaciones de finito de conjuntos o de rotaciones del espacio. En esta situación, vale la pena para aislar las características básicas comunes a los distintos contextos y deducir otras características comunes de los básicos (axiomas) de una vez por todas, en lugar de tratar cada contexto individual. Por lo tanto, los ejemplos que acabo de mencionar son todos subsumidos por los axiomas para grupos. Observe que aquí los axiomas están destinadas a aplicarse a muchas estructuras diferentes (números, combinaciones, etc.) mientras que en (1) y quizás también (2)), los axiomas son la intención de describir una estructura específica. En (1), la existencia de diferentes modelos de los axiomas es un fenómeno o característica de error; en (3) es la principal razón para la formulación de los axiomas.
(4) la simple curiosidad. Por ejemplo, dada Euclides los axiomas de la geometría plana, vamos a ver qué pasa si vamos a reemplazar el postulado paralelo por algunas hipótesis contraria. Hoy en día, tales geometrías no Euclidianas realizados son vistos como las descripciones de las estructuras interesantes (como el plano hiperbólico), pero cuando dichos axiomas se consideraron primero, ninguna de estas estructuras eran conocidos, y, de hecho, estos "extraños" axiomas se espera que sea contradictorio. En principio, cualquier persona puede hacer y estudiar lo que los axiomas (s)él quiere que. Si nadie va a prestar atención, sin embargo, es una pregunta más difícil. Axiomática de los sistemas que no encajan en (1), (2), o (3) mejor que vengas con algunos graves motivación, o la persona que introduce y utiliza ellos puede ser ignorado.
Los axiomas de las matemáticas, en muchos casos, de los objetos matemáticos que se están axiomatized.
Ejemplo 1: la Geometría Euclidiana Muchas culturas de la antigüedad necesaria para trabajar con las ideas geométricas con el fin de construir cosas. Euclides escribió famosamente un sistema de axiomas para la geometría plana basado en su intuición sobre el plano. Mucho más tarde, en la década de 1800, se dio cuenta de que Euclides los axiomas eran problemáticas (por ejemplo, Euclides usa el axioma de Pasch , implícitamente, pero sus axiomas no puede demostrarlo). Hilbert desarrollado un diferente sistema axiomático de la geometría que no tienen los problemas que ellos diez se dio cuenta de Euclides los axiomas de tenido.
Entonces, ¿cómo Hilbert venir para arriba con los axiomas? Él ya conocía la geometría plana! El objetivo era aislar algunas propiedades básicas que sería capaz de desarrollar la teoría que él quería.
Ejemplo 2: Topología de Acuerdo con el artículo de la Wikipedia en topología:
La unificación de la obra en función de los espacios de Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli y otros, Maurice Fréchet introdujo el espacio métrico en 1906. Un espacio métrico es ahora considerado como un caso especial de un general topológica del espacio. En 1914, Felix Hausdorff, acuñó el término "espacio topológico" y se dio a la definición de lo que ahora se llama un espacio de Hausdorff. En la actualidad, un espacio topológico es una pequeña generalización de los espacios de Hausdorff, dada en el año 1922 por Kazimierz Kuratowski.
De nuevo, estos investigadores habían muchos ejemplos de objetos matemáticos en la mano, y el objetivo era aislar ciertas propiedades de los objetos y escribir axiomas que describen sólo las propiedades.
Hay muchos más ejemplos que se pueden dar, incluyendo la teoría de grupo, Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, teoría de grafos, matroid teoría, funciones computables, y más. Ninguno de estos fue inventado "de la nada" como un conjunto de axiomas - que cada uno de ellos desarrollados a lo largo del tiempo a medida que más ejemplos fueron considerados.
Una forma de que el progreso en matemáticas que pasa es que vemos un fenómeno que ocurre en un ejemplo particular, y nos preguntamos qué propiedades de los ejemplo son necesarios para que el fenómeno ocurra. Si la clase de todos los objetos que tienen estas propiedades resulta ser muy interesante, a continuación, las propiedades pueden convertirse en axiomas para una nueva clase de objetos. El estudio de esos axiomas puede mostrarnos nuevos fenómenos, dando lugar a nuevos sistemas de axiomas, y así sucesivamente.
Hay una cosa importante que la elección de los axiomas debería al menos hacer, que es ser constante, es decir no se puede probar un teorema y es inversa, ya que si se podría, podría probar nada en absoluto, que no dan ninguna teoría interesante.
Dicho esto, gracias a Gödel, sabemos que ZFC no puede ser demostrado ser consistente con ZFC (a menos que sea inconsistente), por lo que no tienen forma de saber realmente si los axiomas que hemos elegido 'trabajo', por así decirlo, pero intuitivamente no parecen ser inconsistentes.
Yo diría que cuando uno crea axiomas, uno de ellos crea con un objetivo específico en mente, así que mientras tengamos una cantidad infinita de axiomas para elegir, sólo estamos interesados en el subconjunto que se describe algún objeto que se comporta de una manera que encaja con nuestra intuición.
Tomar los axiomas de Peano como un ejemplo, queremos describir los números naturales, y tenemos cierta intuición sobre cómo deberían comportarse. Queremos un número 0, queremos que la manera de contar hacia arriba, no queremos terminar de nuevo en 0 si contamos con el tiempo suficiente, etc. Los axiomas es sólo una manera de utilizar la lógica para explicar lo que ya sabíamos. Si he creado un conjunto diferente de los axiomas de los números naturales, pero donde, una vez llegué a 17 años, empecé a los 3, creo que estaríamos todos de acuerdo en que mientras el objeto matemático he creado podría ser perfectamente válida, no es la de los números naturales de la forma que he descrito.
Cualquier otro conjunto de axiomas es elegido en la misma forma. Tenemos un objeto matemático queremos describir, tratamos de crear un conjunto de axiomas que hace el trabajo, y ver a dónde los axiomas nos llevan. Cuando vemos que los axiomas ir, podemos decidir desde 'fuera' de la lógica si este conjunto de axiomas que realmente era lo que quería, o si debe cambiarse para adaptarse mejor a lo que nuestra intuición nos dice que debería suceder.
Espero que esta respondido al menos una parte de sus preguntas :)
Por supuesto, el que (se supone) primer axioma del sistema fue el de Euclides de la Geometría. Este libro a pesar de que fue una sistematización de los conocimientos en el momento, y parece razonable suponer que comenzó como un curso de enseñanza. Si usted está dando un curso, usted tendrá que decidir dónde va a iniciar, y parece razonable comenzar con la hipótesis básicas. Por supuesto, no sabemos cuál fue la evolución de este libro!
Axiomas a menudo evolucionan a través de la práctica y el ensayo y error. La gente llevar a cabo un determinado tipo de argumento y, a continuación, se da cuenta de que puede llevarse a cabo bajo ciertos supuestos abstractos.
Las virtudes de la abstracción son varios.
1) Para cubrir varios ejemplos, y en este hacer analogías.
2) disponibles para los nuevos ejemplos, y así nuevas analogías.
3) Para simplificar las pruebas.
La última ventaja puede ser sorprendente, pero la razón es que los axiomas de ordenación de los elementos esenciales que son necesarios para la prueba, y permitir el despido de exceso de equipaje.
Todo esto es la intención de destacar que los axiomas surgir a partir de un montón de estudio, de ejemplos, de pruebas, y de otros axiomática de los sistemas.
Para ilustrar: todos sabemos que 2+3 = 3 +2, y 2 x 3 = 3 x 2. Decir que estos son ejemplos de una conmutatividad de la ley es hacer una analogía entre la adición y multiplicación de números.
Las cosas se ponen más emocionante cuando usted consigue una analogía entre la suma de los nudos y la multiplicación de números: véase este nudo de la exposición.