Si $m,n\in Z$ entonces { $x\in Z: mn\mid x$ } $\subset$ { $x\in Z:m|x$ } $\cap$ { $x\in Z:n\mid x$ }

Question

Si $m,n\in Z$ entonces { $x\in Z: mn\mid x$ } $\subset$ { $x\in Z:m|x$ } $\cap$ { $x\in Z:n\mid x$ }

Sé que esto es cierto, pero tengo problemas para probarlo

Answer 1

Dejemos que $x$ tal que $mn \mid x$ Entonces $x=k(mn)$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ .

Ahora por asociatividad y conmutatividad del producto $x=(km)n=(kn)m$ Así que $n \mid x$ , $m \mid x$ respectivamente.

Así que ahora cada $x$ que es divisible por $mn$ (por lo que está en el primer conjunto), es a la vez divisible por $m$ y $n$ (por lo que está en el segundo Y en el tercer conjunto). Estar al mismo tiempo en dos conjuntos significa que pertenece a la intersección.