Demuestre que si $G$ es un subgrupo no trivial de $\Bbb R$ entonces $G$ es denso en $\Bbb R$ o $G=l\Bbb Z$

Question

Demuestre que si $G$ es un subgrupo no trivial de $\Bbb R$ entonces $G$ es denso en $\Bbb R$ o $G=l\Bbb Z$ , donde $l=\inf\{x\in G:x>0\}$ .

Mi intento :

Si $G=\Bbb Q$ entonces $\Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$ .

Si $G=n\Bbb Z$ entonces $G$ no es denso pero $G$ tiene la forma $G=l\Bbb Z$ .

Pero cómo debo hacer la suma para cualquier subgrupo de $\Bbb R$ por favor, ayuda.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $n G \subset G$ para cada número entero $n$ .

Si $G$ es cíclico, entonces $G = k \mathbb{Z}$ para algunos reales no nulos $k$ . (Porque no hay elementos de orden finito).

Si $G$ no es cíclico, entonces $$\inf_{\substack{x, y \in G\\ x \neq y}}|x-y| = 0,$$ (de lo contrario, el infimo positivo sería su $k$ ). Por lo tanto, si $\epsilon > 0$ y $r$ son números reales, entonces $G$ tiene un elemento $g$ tal que para algún número entero $n$ la integral múltiple $ng$ (que también está en $G$ ) está a una distancia $\epsilon$ de $r$ .