es $(x+y)^2\neq (x^2+y^2)$ correcto si consideramos los enteros mod $2$ ?

Question

En general $(x+y)^2 \neq (x^2+y^2)$ . ¿Sigue siendo esto correcto en el caso del mod $2$ ? ¿Alguien puede compartir alguna idea?

Answer 1

No es así porque $x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 \pmod 2$ como $ 2xy = 0 \pmod 2$

Answer 2

Esta afirmación es falsa en el caso del mod 2. De hecho, el caso de $(x+y)^p=x^p+y^p$ es verdadera mod p para todos los valores primos de $p$ .

Answer 3

Por el teorema del binomio

$$(x+y)^n=x^n+y^n+\sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}x^k y^{n-k}$$

Ahora bien, si $n$ es primo, $n$ divide ${n\choose k}$ si $0<k<n$ porque el factor $n$ aparece en el numerador de

$${n\choose k} = \frac{n\times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)}{k!}$$

pero no el denominador (como $k<n$ y $n$ es primo) ( Fuente ).

Por lo tanto, para $n$ de primera, ${n\choose k}$ es un múltiplo de $n$ y bajo la operación $\pmod n$ la suma de la derecha en la primera fórmula desaparece, lo que significa que

$$(x+y)^n \equiv x^n+y^n \pmod n$$

Answer 4

Si quieres leer sobre esto, te sugiero que cojas el libro Álgebra Abstracta en el capítulo 13 (Teoría de Campos, tercera edición) y consultes sobre característica de un campo . Aquí prueba que ASKASK dice.