¿Por qué $C^\infty_p\neq C^\infty_q$ cuando $p\neq q$ ?

Question

Dejemos que $C^\infty_p(M)$ sea el conjunto de todos los gérmenes en el punto $p \in M$ .

A germen en el punto $x$ es $[f]_x=\{g\in C^{\infty}(\mathcal{U}_x):\exists_{\mathcal{O_x}\subset\mathcal{U}_x} \ g_{|_\mathcal{O_x}}=f\}$ , donde $\mathcal{U}_x$ y $\mathcal{O_x}$ son barrios abiertos de $x$ , en $M$ .

¿Por qué siempre tenemos $C^\infty_p\neq C^\infty_q$ cuando $p\neq q$ ?

Necesito entender esto para comprender cómo los espacios tangentes 'como el' conjunto de derivaciones son siempre disjuntos para diferentes puntos.

Answer 1

Un germen suave en $p$ es una clase de equivalencia de pares $(U,f)$ que consiste en un barrio abierto $U$ de $p$ y una función suave $f$ en $U$ , modulando la relación de equivalencia que $(U,f) \sim (V,g)$ si hay un barrio abierto $W$ de $p$ , $W \subset U \cap V$ , de tal manera que $f|_W = g|_W$ . Denotamos la colección de todos los gérmenes suaves en $p$ por $C_p^\infty$ .

Si $p \neq q$ , ningún germen en $q$ puede pertenecer al conjunto de gérmenes en $p$ . Porque, supongamos $f \in C_q^\infty \cap C_p^\infty$ . Sea $(U_1,g_1)$ sea un representante de la clase de equivalencia de $f$ en $C_p^\infty$ y que $(U_2,g_2)$ sea un representante de la clase de equivalencia de $f$ en $C_q^\infty$ . Siempre podemos elegir los barrios abiertos $U_1$ y $U_2$ (de $p$ y $q$ respectivamente) de manera que $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ ya que $\Bbb{R}^n$ es Hausdorff. Ahora bien, como $g_1$ y $g_2$ son ambos representantes de $f$ debe ser que se pongan de acuerdo en un conjunto abierto $V \subset U_1 \cap U_2$ , donde $V$ es una vecindad abierta de ambos $p$ y $q$ . Pero, esto no es posible ya que $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ .

Por lo tanto, $C_p^\infty$ y $C_q^\infty$ son completamente distintos cuando $p \neq q$ .

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Editar (en base a los comentarios para una mayor aclaración):

Estaba releyendo tu respuesta y tengo una duda. En el 2º párrafo, ¿por qué hay un $V$ ? Los representantes de f son representantes, pero en diferentes puntos... ;)

Brahadeesh, he añadido la definición que utilizo de germen. Con esa definición, no veo cómo podemos garantizar la existencia de ese V.

El mismo razonamiento (o similar) pasa por la definición de germen que actualizaste en los detalles de la pregunta. Supongamos que $[f_x]=[f_y]$ para algunos $x \neq y$ según su definición. Entonces, tienen el mismo conjunto de representantes. Sea $U_x$ y $U_y$ sean vecindades abiertas disjuntas de $x$ y $y$ respectivamente. Elija $g \in C^\infty(U_x)$ para ser un representante de $[f_x]$ para que exista $O_x \subset U_x$ con $g|_{O_x} = f$ . Desde $[f_x]=[f_y]$ , $g$ es también un representante de $[f_y]$ Lo cual es absurdo.

En este punto, depende de lo que se quiera decir: es absurdo porque $y \not\in U_x$ sí mismo, por lo que ha terminado. Pero si no queda claro de inmediato con esto, se puede proceder un poco más adelante con el absurdo y observar que sucede en otro punto, como lo hice anteriormente en mi respuesta. Así pues, dejemos que $h \in C^\infty(U_y)$ ser un representante de $[f_y]$ . Desde $[f_x]=[f_y]$ Ahora tenemos dos representantes de $[f_x]$ . Por lo tanto, hay un tercer representante $k \in C^\infty(U)$ de $[f_x]$ tal que $U \subset U_x \cap U_y$ . Pero esto es absurdo porque $U_x \cap U_y = \emptyset$ .

Además, si tu razonamiento fuera correcto, ¿cómo es que, en la respuesta de Arthur, podemos encontrar una función común en los gérmenes en diferentes puntos?

Un germen en un punto no es sólo una función suave con (algunas condiciones) es una clase de equivalencia de pares de funciones suaves y vecinas de ese punto que satisfacen (algunas condiciones) . Arthur no dice en su respuesta que podamos encontrar un germen común, por lo que no hay contradicción.

Answer 2

Son isomorfos como $\Bbb R$ espacios vectoriales (o álgebras, para el caso), pero completamente distintos. Ambos son particiones de $C^\infty(\Bbb R)$ en clases de equivalencia (o algo muy parecido, dependiendo de su definición exacta de "germen"), pero esas dos particiones tienen poco que ver entre sí.

Por ejemplo, dados dos gérmenes cualesquiera $\alpha\in C^\infty_p(\Bbb R^n)$ y $\beta\in C^\infty_q(\Bbb R^n)$ Hay un $f\in C^\infty(\Bbb R^n)$ que está contenida en ambos $\alpha$ y $\beta$ .