¿Qué variedades son paralelizables?

Question

Recuerde que una variedad $M$ de dimensión $n$ es paralelizable si existen $n$ campos vectoriales que forman una base del espacio tangente $T_x M$ en cada punto $x \in M$. Esto es equivalente a que el haz tangente $TM$ sea trivial o que el haz de marcos $FM$ tenga una sección global.

Conozco algunas condiciones (tanto necesarias como suficientes), así como contraejemplos, ambos de los cuales proporcioné en una respuesta a esta pregunta reciente sobre haces tangentes.

Pero los resultados con los que estoy familiarizado son bastante dispares y me preguntaba si se conoce alguna teoría más coherente. En el caso ideal, proporcionando un conjunto de condiciones necesarias y/o suficientes (por ejemplo, en términos de grupos de cohomología) o al menos caracterizando completamente alguna clase agradable de variedades (como los grupos de Lie, que son paralelizables; o las variedades compactas con característica de Euler distinta de cero, que no lo son).

Answer 1

(Descargo de responsabilidad. Lo siguiente describe algunas condiciones cohomológicas que responden formalmente a la pregunta. Pero son 1) generalmente demasiado difíciles de computar; 2) realmente no explican cuál es la clase de variedades parallelizable geométricamente.)

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El problema de la existencia de una sección es respondido (bueno, en cierto sentido) por la teoría de obstrucciones. Es decir, existe la primera obstrucción $o_1\in H^1(X,\pi_0(F))$ y hay una sección en $sk_1(X)$ si y solo si $o_1=0; si $o_1=0$ cada sección en $sk_1(X)$ define una obstrucción $o_2\in H^2(X,\pi_1(F))$ y así sucesivamente (y si todas las obstrucciones son triviales, el haz tiene una sección).

(Bueno, en realidad se debe tener cuidado con $H^1(X;\pi_0(F))$: en general, $\pi_0(F)$ no es un grupo, por lo que este $H^1$ simplemente no tiene sentido, y la historia comienza un paso (o dos, si $\pi_1(F)$ no es abeliano) más tarde. Pero en los casos que nos interesan, $o_1$ está bien definido.)

En el caso del haz de marcos de un haz vectorial de dimensión $n$, la fibra es $O(n)$, por lo que las obstrucciones se encuentran en los grupos $H^i(M,\pi_{i-1}O(n))$. En el rango estable, los grupos de homotopía de los grupos ortogonales están dados por la periodicidad de Bott. Si estamos hablando del haz tangente, nos importa solo $\pi_{i-1}(O(n))$ para $i\leq n$ y para $i

Un ejemplo (de juguete): para $S^3$ el único grupo de cohomología (reducido) no trivial es $H^3(S^3)$; pero $\pi_2 O(n)=0$ — por lo que cualquier haz vectorial en $S^3$ es trivial (bueno, no es la demostración más simple del hecho, pero aun así).

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En el caso de los haces vectoriales, estas obstrucciones también pueden describirse de manera más geométrica (en el espíritu de la teoría de clases características).

1. La primera obstrucción $o_1\in H^1(M;\pi_0 O(n))=H^1(M;\mathbb Z/2\mathbb Z)$ no es otra cosa que $w_1$, la primera clase de Stiefel-Whitney. Da la obstrucción a la orientabilidad — es decir, a reducir el grupo de estructura del haz de $O(n)$ a $SO(n)$.
2. Si el haz está orientado, se define la segunda obstrucción $o_2\in H^2(M;\pi_1 O(n))=H^1(M;\mathbb Z/2\mathbb Z)$. Coincide con $w_2$ y da la obstrucción a la existencia de una estructura de espín — es decir, a elevar el grupo de estructura del haz de $SO(n)$ a su cubierta universal, $Spin(n)$.
3. La siguiente obstrucción se define para un haz de espín; $\pi_2O(n)=0$, así que la primera obstrucción no trivial aquí es $o_4\in H^4(M;\pi_3 O(n))=H^4(M;\mathbb Z)$. De hecho, coincide con $\frac12p_1$ (donde $p_1$ es la primera clase de Pontryagin del haz orientado). Y es la obstrucción para elevar el grupo de estructura de $Spin(n)$ a (un grupo topológico de dimensión infinita) $String(n)$.

...Y así sucesivamente: la secuencia de obstrucciones corresponde a la torre de Postnikov $$ O(n)\gets SO(n)\gets Spin(n)\gets String(n)\gets FiveBrane(n)\gets... $$ (esto es una especie de dualidad: uno puede pensar ya sea en la secuencia de extensiones de la sección a través de la filtración de $M$ por esqueletos, o en la secuencia de elevaciones a través de la torre de Postnikov de $O(n)$).

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Algunas referencias. La teoría de obstrucciones en general se discute en la sección 4.3 de Hatcher — pero Hatcher utiliza el enfoque de torres de Postnikov (como en la segunda parte de la respuesta), si mal no recuerdo. Y un enfoque más clásico + un POV teórico de obstrucciones sobre clases características se explica, por ejemplo, en la sección 12 de Milnor-Stasheff, creo.

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Otra observación. Como se explica en la otra respuesta, las clases características ordinarias ("primarias") no pueden responder a la pregunta, ya que coinciden para haces vectoriales estables equivalentes. Lo que la teoría de obstrucciones proporciona es, en cierto sentido, una teoría de clases características superiores: una clase secundaria (a priori) definida solo si la primaria es cero y así sucesivamente.

Answer 2

Aunque las clases características dan condiciones necesarias muy buenas para la paralelizabilidad y también algunas condiciones suficientes parciales, están condenadas al fracaso en general. Aquí está la razón. Si el fibrado tangente $TM$ de una variedad $M$ de dimensión $n$ es trivialmente estable, es decir, tiene la propiedad de que $TM\oplus \theta^r\simeq \theta^{n+r}$ para algún entero $r$ (donde $\theta$ es el fibrado trivial de rango uno), entonces todas las clases características de $TM$ serán triviales (si cumplen con el axioma de Whitney). Pero no hay razón para que $TM$ en sí mismo sea trivial.
Por ejemplo, el fibrado tangente a cualquier esfera $S^n$ es trivialmente (!) estable trivial [añadir el fibrado normal trivial para obtener el fibrado vectorial trivial de rango $n+1$], pero sólo $S^1, S^3$ y $S^7$ son paralelizables.
Un impresionante teorema de Adams es que el número máximo de campos vectoriales independientes en $S^n$ o $\mathbb P^n$ es de $8a+2^b-1$, donde $n+1=k.2^{4a+b}$ con $k$ impar, $a\geq0$ y $0\leq b\leq 3.

Algunos resultados positivos
a) Steenrod ha demostrado que todo 3-variedad orientable es paralelizable.
b) Forster ha demostrado algunos resultados increíblemente fuertes sobre la paralelizabilidad analítica (que es, por supuesto, mucho más fuerte que la paralelizabilidad diferenciable) de las variedades de Stein.
Por ejemplo, cada subvariedad analítica de codimensión uno (=hipersuperficie) de $\mathbb C^n$ es analíticamente paralelizable. Y una subvariedad analítica de codimensión dos de $X\subset \mathbb C^n$ es analíticamente paralelizable si y solo si la primera clase de Chern de su fibrado tangente es cero: $c_1(TX)=0.

Los análogos reales de los resultados de Forster son, por supuesto, completamente falsos: cada esfera $S^n$ es una hipersuperficie de $\mathbb R^{n+1}$ y una subvariedad de codimensión 2 de $\mathbb R^{n+2}$ con clases Stiefel-Whitney nulas (ya que su fibrado tangente es trivialmente estable). Sin embargo, no es paralelizable si $n\neq 1,3,7$, como ya se mencionó.