Generalización de una rueda cuadrada a un cuerpo que rueda sobre una superficie

Question

Una rueda cuadrada que rueda sobre una carretera catenaria mantiene el centro de la rueda a una altura fija altura, una construcción bien conocida y discutida anteriormente en MO (por ejemplo " Generalización de las ruedas cuadradas que ruedan sobre catenarias invertidas "). Me preguntaba si este ejemplo fundamentalmente unidimensional podría generalizarse a dos dimensiones, en el siguiente sentido:

¿Hay un cuerpo sólido $B$ y una superficie no plana $S$ que en conjunto tienen la propiedad de que, desde alguna posición fija especial de $B$ apoyándose en $S$ , $B$ puede seguir rodando $S$ en cualquier dirección horizontal $v$ para que en algún momento en $B$ (su centro ) permanece a una altura fija?

Por supuesto, si $B$ es una esfera y $S$ es un plano, entonces la propiedad de altura constante es válida. Obsérvese que pido que esto sólo se cumpla para alguna posición inicial especial de $B$ pero exigen que se ruede en cualquier dirección del $360^\circ$ mantiene una altura constante a lo largo de ese rayo.

Mi opinión es que el requisito de que esto se mantenga para cada posición de $B$ en $S$ fuerza una esfera en un plano.

Lo que sigue es sólo una sugerencia.
          
Lo que me trajo a la mente es el tradicional Rollo de huevos de Pascua . :-)

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Apéndice . He aquí otra imagen sugestiva, sin precisión métrica, de un revuelto diamante cuadrado que puede rodar sobre una catenaria girada, según la respuesta de Anton.
          

Answer 1

Esto ocurre si y sólo si en la posición inicial son las superficies o la revolución alrededor de $z$ -y la intersección de $B$ con decir $(yz)$ -El plano es la figura del plano rodante.

Tenga en cuenta que $B$ y su posición inicial sobredetermina la superficie; da la superficie como los puntos de pie de rodadura en todas las direcciones y da sus gradientes en estos puntos de pie. Ambos datos son periódicos a lo largo de cada rayo. Para los rayos cercanos, las trayectorias de los puntos de pie se separan, pero los gradientes siguen siendo periódicos. Por lo tanto, los datos pueden estar juntos sólo si el gradiente es paralelo al rayo. Esto último implica que tenemos una superficie de revolución.