Necesidad de encontrar $\lim_{x\to4}\bigl((1/\sqrt x)-(1/2)\bigr)/(x-4)$

Question

Esta es frustrante $$\lim\limits_{x\to 4} \frac{(1 / \sqrt{x}) - \frac12}{x-4}$$

Answer 1

Dejemos que $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ entonces $f$ es diferenciable en $]0,+\infty[$ y $f'(x)=\frac{-1}{2x^{\frac{3}{2}}}$ y $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}}{x-4}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}=f'(4)=-\frac{1}{16}$

Answer 2

Sugerencia :

$$\lim\limits_{x\to 4} \frac{(1 / \sqrt{x}) - \frac12}{x-4} = \lim_{x\to 4}\frac{2-\sqrt x}{2\sqrt x(x-4)}=\lim_{x\to 4}\frac{-1}{2\sqrt x (2+\sqrt x)}.$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $$\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}=-\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}}\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=-\frac{x-4}{2x+4\sqrt{x}},$$ por lo que el límite se vuelve bastante simple de evaluar, después de la cancelación.

Answer 4

Utilizando la regla de L'Hospital, obtenemos \begin{equation*} \begin{split} \lim_{x\to 4}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}}{x-4} &= \lim_{x\to 4}\frac{-\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}}{1}\\ &=-\frac{1}{2({4})^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{16}. \end{split} \end{equation*}

Answer 5

$\lim\limits_{x\to 4} \frac{(1 / \sqrt{x}) - \frac12}{x-4}$ .

Sustituimos $\sqrt {x}=t$ , hance we:

Si $ x\longrightarrow 4\Rightarrow t\longrightarrow 2. $

A partir de aquí para los límites dados tienen:

$\lim\limits_{x\to 4} \frac{(1 / \sqrt{x}) - \frac12}{x-4}$ = $\lim\limits_{t\to 2} \frac{\frac{1}{t} - \frac12}{t^2-4}$ = $\lim\limits_{t\to 2} \frac{\frac{2-t}{2t}}{t^2-4}$ = $\lim\limits_{t\to 2} \frac{2-t}{2t(t-2)(t+2)}$ = $-\lim\limits_{t\to 2} \frac{t-2}{2t(t-2)(t+2)}$ = $-\lim\limits_{t\to 2} \frac{1}{2t(t+2)}$ = $-\frac{1}{16}$