Trabajo con clases de equivalencia y espacio métrico

Question

Me encuentro con una pregunta como la siguiente:

Dado un conjunto X y $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ es una función que satisface la condición de desigualdad triangular y la condición d(x,y) = d(y,x), pero sólo sigue una versión flexible de $d(x,y) \geq 0$ en este caso podemos tener d(x,y) = 0 incluso cuando $x \neq y$ .

Dejemos que $X/\sim$ sea el conjunto de clases de equivalencia para $\sim$ ( $x\sim y$ si $d(x,y) = 0$ . Afirmé que $\sim$ es una relación de equivalencia). A continuación, defino una función $$d': (X/\sim) \times (X/\sim) \longrightarrow \mathbb{R}$$ como sigue: si $E_{0}, E_{1} \in X/\sim$ son clases de equivalencia, elija $x\in E_{0}, y\in E_{1}$ y establecer $d'(E_{0}, E_{1}) = d(x,y)$ . Me pregunto cómo probar que $d'$ está bien definido y es una métrica. He encontrado una definición de "bien definido" en la teoría de grupos, pero parece irrelevante.

Cualquier consejo sería genial. Gracias.

Answer 1

Decir que $d'$ está bien definido significa que, si $x\in E_0$ y $y\in E_1$ , donde $E_0$ y $E_1$ son clases de equivalencia, entonces $d(x,y)$ no depende de la elección de $x$ y $y$ (dentro de $E_0$ y $E_1$ respectivamente).

Así que, toma $x'\in E_0$ y $y'\in E_1$ . Entonces \begin{align}d(x',y')&\leqslant d(x',x)+d(x,y)+d(y,y')\\&=d(x,y).\end{align} Con el mismo argumento, $d(x,y)\leqslant d(x',y')$ . Por lo tanto, $d(x,y)=d(x',y')$ .

Esto demuestra que su definición de $d'(E_0,E_1)$ tiene sentido, es decir, que $d'$ está bien definida.