Resolución de desigualdades para las regiones

Question

Tengo que resolver varias tareas en las que se utiliza un conjunto de inecuaciones para describir una región. Luego debo calcular el área o el volumen de esa región.

Digamos que tenemos la siguiente desigualdad (para $x,y,z \geq 0$ ):

$x+2y+3z \leq 1$

Ahora necesito averiguar los límites de la integral triple. A partir de algunos ejemplos que tengo aquí, no fui capaz de derivar una manera de resolver tal problema.

El ejemplo de solución sugiere que

$0 \leq y \leq \frac{1-x}{2}$

y

$0 \leq z \leq \frac{(x - 2y)}{3}$ .

para

$0 \leq x \leq 1$

que lleva a la integral:

$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{1-x}{2}} \int_{0}^{\frac{x-2y}{3}} { 1 \; dz dy dx } $

¿Cómo puedo averiguar estos límites? (Además, ¿cómo puedo averiguar los límites en un enfoque general)

PD: No estoy seguro de que la solución sea correcta del todo, probablemente por eso estoy confundido.

Answer 1

Toma las variables una por una.

Para su ejemplo, comience con $z$ y mover todas las demás variables al otro lado:

$0 \leq 3z \leq 1 - (x+2y)$

Dividir por $3$ y ya tienes tu atadura.

Para $y$ , ignorar $z$ pero haz lo mismo, obteniendo:

$0 \leq 2y \leq 1 - x$

Lo mismo para $x$ inmediatamente da

$0 \leq x \leq 1$ .

Creo que el enfoque general es bastante evidente a partir de esto.

Con estos límites, se obtiene la integral

$\int_0^1 \int_0^\frac{1-x}{2} \int_0^\frac{1-x-2y}{3} dzdydx = \frac{1}{36}$

EDIT: Esto debería ser correcto, ya que el volumen descrito puede verse como una pirámide con área de base $\frac{1}{12}$ (triángulo con altura $\frac{1}{2}$ , base $\frac{1}{3}$ ) y la altura 1. El volumen de una pirámide es $\frac{1}{3}Bh$ .

Answer 2

Siempre se hace un dibujo! se verá el volumen que se encuentra entre el $xy$ -plano y el plano $x+2y+3z=1$ un tetraedro. Su proyección en el $xy$ -es un triángulo rectángulo con hipotenusa $x+2y=1$ (obtenido mediante la fijación de $z=0$ ). En mi opinión, el enfoque geométrico es mejor que complicarse con un montón de desigualdades.