La condición obvia necesaria es que el centro debe ser un grupo cíclico. ¿Es suficiente (duda aquí)? Si no es así, ¿hay alguna buena caracterización en términos de estructura de grupo, sin apelar a las representaciones?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
NimChimpsky
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Pensé que agregaría un ejemplo específico de un grupo finito con centro cíclico (trivial, de hecho), pero sin una representación compleja irreducible fiel (el ejemplo es del problema 2.19 de la teoría de caracteres de Grupos finitos deIsaacs, MR460423).
El grupo $(C_2)^4\rtimes C_3$, donde $C_n$ denota el grupo cíclico de orden $n$ y $C_3=\langle \sigma\rangle$ actúa sobre $(C_2)^4=\langle \tau_1,\tau_2,\tau_3,\tau_4\rangle$ a través de
$$\begin{align} \sigma\cdot\tau_1=\tau_2 \hspace{0.5in}&\sigma\cdot\tau_2=\tau_1\tau_2 \newline \sigma\cdot\tau_3=\tau_4 \hspace{0.5in}&\sigma\cdot\tau_4=\tau_3\tau_4. \end{align}$$
