Una secuencia en un espacio de Hausdorff y en un espacio que no es de Hausdorff.

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico y $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ una secuencia en $X$ .

Demuestre que si $X$ es Hausdorff, $x_n \rightarrow x \:$ , $x_n \rightarrow y \:$ implica $x=y$ .

Dé un ejemplo que demuestre que si $X$ no es Hausdorff entonces esto no es necesariamente cierto.

Una secuencia es convergente, $x_n \rightarrow x \:$ si hay un elemento $x \in X$ tal que para cada vecindad abierta $U$ de $x$ existe un $n_0$ tal que $n > n_0$ implica $x_n \in U$ .

Si $X$ es Hausdorff y $x$ y $y$ son diferentes existen conjuntos abiertos disjuntos $x \in U$ y $y \in V$ .

Porque todos, excepto un número finito de $x_n$ se encuentra en $U$ según la definición de ese $x_n \rightarrow x \:$ entonces sólo un número finito de $x_n$ puede ser en $V$ , lo cual es una contradicción con lo que $x_n \rightarrow y \:$ .

Pero me cuesta encontrar un ejemplo que demuestre que esto no es necesariamente cierto cuando $X$ no es Hausdorff.

¿Alguien puede darme una pista?

Gracias.

Answer 1

Toma el espacio antidiscreto con más de un punto. Toda secuencia converge a cualquier punto del espacio.

Espacio antidiscreto $X$ tiene sólo 2 conjuntos abiertos: el conjunto vacío y él mismo.

Dejemos que $a_n$ sea una secuencia en $X$ . La afirmación: la secuencia converge a $x$ para cualquier $x\in X$ . Tenemos que demostrar que cualquier conjunto abierto que contenga $x$ contiene todos los elementos de la secuencia menos los finitos. Pero sólo hay un conjunto abierto que contiene $x$ que es el conjunto $X$ sí mismo. Y sabemos que $X$ contiene todos los elementos de $a_n$ básicamente porque $a_n$ es la secuencia en $X$ .

Answer 2

Tome $\mathbb{N}$ en la topología cofinita (los únicos conjuntos cerrados son los finitos (incluido el conjunto vacío) y $\mathbb{N}$ mismo). Tome $a_n$ para ser cualquier secuencia donde todos los valores son diferentes, como $a_n = n$ o $a_n = 2n$ etc. Entonces $(a_n)$ converge a cada punto $m$ de $\mathbb{N}$ porque los únicos conjuntos abiertos que contienen $m$ son de la forma $O = \mathbb{N} \setminus F$ , donde $F \subset \mathbb{N}$ es finito. Pero después de algún segmento inicial los valores de $a_n$ nunca están en $F$ (como $F$ es sólo finito), por lo que todos los valores a partir de algún valor están en $O$ . Como esto es válido para todos los $O$ , $(a_n) \rightarrow m$ para todos $m$ .

Así que dos de estas secuencias tienen todos los puntos del espacio como su límite también y por lo tanto los límites son muy no únicos. La topología cofinita es $T_1$ , por lo que un axioma de separación por debajo de Hausdorff, por lo que es un ejemplo más "nítido" que la topología indiscreta.

Answer 3

Presentaré una forma bastante general de obtener ejemplos de secuencias que convergen a más de un punto. Recordemos que un espacio $X$ se llama T ₁ (o Fréchet ) si dados dos puntos distintos cualesquiera $x,y \in X$ existe un conjunto abierto que contiene $x$ pero no $y$ .

Supongamos que $X$ es no T ₁ . (Se pueden encontrar ejemplos de estos espacios en π-Base con esta búsqueda .) Entonces hay puntos distintos $x,y \in X$ tal que toda vecindad abierta de $x$ contiene $y$ . Consideremos la secuencia constante $( x_n )_n$ donde $x_n = y$ para cada $n$ . Nótese que claramente esta secuencia converge a $y$ pero por la suposición de los puntos elegidos también tenemos que la secuencia converge a $x$ .

También se puede demostrar que si un espacio tiene la propiedad de que todas las secuencias convergen a lo sumo a un punto, entonces el espacio debe ser T ₁ .

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Como una especie de apunte final, hay que tener en cuenta que hay son espacios no Hausdorff en los que toda secuencia converge a lo sumo a un punto. Un ejemplo sería un conjunto incontable dado el co-contable topología, en la que las únicas secuencias convergentes son las secuencias eventualmente constantes, que convergen sólo a su valor eventualmente constante.

Answer 4

Esto también debería funcionar:

Dejemos que $X = \mathbb{R}$ con la topología $\{(-\infty, x): x \in [-\infty, \infty]\}$

$x_n \rightarrow x \:\: \Rightarrow \:\:x_n \rightarrow y \:\:\: \forall\:\: y \geq x$