Funciones $f$ que tiene la propiedad de valor intermedio tal que $(f(x))^2=x^2$ para todos $x\in \mathbb{R}$

Question

Parece "obvio" que sólo hay cuatro funciones de este tipo, a saber $x,-x,|x|,-|x|$ pero no veo la justificación rigurosa para ello.

Answer 1

Cualquier otra función debe tener dos puntos $x,y$ con $f(x)=x$ , $f(y)=-y$ y $xy\gt 0$ . Ahora aplica la propiedad del valor intermedio para encontrar un punto $t$ entre $x$ y $y$ con $f(t)=0$ ; ya que $t$ no puede ser $0$ ( $x$ y $y$ están ambos en el mismo lado de $0$ ), esa es su contradicción.