Dejemos que $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ y $x_{m,n}$ sea el elemento en el $m$ -de la fila y $n$ -ésima columna de la matriz. ¿Es posible reescribir el producto de las sumas $\prod_{m=1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} x_{m, n}$ como una suma de productos?
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Sí, es posible. Sospecho que lo difícil es cómo escribir ese resumen.
En el $3 \times 2$ caso, la suma es \begin{align*} (x_{11} + x_{21})(x_{21} + x_{22})(x_{31} + x_{32}) &= x_{11}x_{21}x_{31} + x_{12}x_{21}x_{31} + x_{11}x_{22}x_{31} + x_{12}x_{22}x_{31} \\ &+ x_{11}x_{21}x_{32} + x_{12}x_{21}x_{32} + x_{11}x_{22}x_{32} + x_{12}x_{22}x_{32}, \end{align*} ciertamente una suma de productos, cuando se expande.
En general, un producto como $(a_1 + a_2 + \cdots + a_{n})(b_1 + b_2 + \ldots + b_{n})\ldots (z_1 + z_2 + \ldots + z_n)$ de $m$ factores se expande en una suma de productos: un término por cada selección $(a_{i_1}, b_{i_2}, \ldots, z_{i_m})$ . En pocas palabras, usted acaba de hacer $m$ selección de índices, cada uno de ellos seleccionado entre $n$ posibles índices. Así, cada función $f: \{1, 2, \ldots, m\} \to \{1, 2, \ldots, n\}$ identifica de forma única un término en el producto.
Si utilizamos la notación $[M] = \{1, 2, \ldots, M\}$ y $[N] = \{1, 2, \ldots, N\}$ el conjunto de todas las funciones $f: [M] \to [N]$ se suele denominar $[N]^{[M]}$ (en parte porque hay $N^M$ tales funciones).
Podemos entonces escribir $\prod_{m=1}^{M} \sum_{n = 1}^{N} x_{m, n}$ como una suma indexada por estas funciones, a saber, $$\sum_{f \in [n]^{[m]}} \prod_{m = 1}^M x_{m,f(m)}$$
En el ejemplo de la introducción, podemos ver todos los $8$ funciones $f \in [2]^{[3]}$ apareciendo: El $x_{11}x_{21}x_{31}$ procedente de la función que envía todos los $1, 2$ y $3$ a $1$ entonces el $x_{12}x_{21}x_{31}$ correspondiente a la función $f: 1 \mapsto 2,\, 2 \mapsto 1,\, 3 \mapsto 1$ y así sucesivamente.
