Cálculo de $\int_{0}^{1}\frac{x-1+\sqrt{x^2+1}}{x+1+\sqrt{x^2+1}}dx$

Question

Cálculo de $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x-1+\sqrt{x^2+1}}{x+1+\sqrt{x^2+1}}dx$

$\bf{My\; Try::}$ Dejemos que $x=\tan \psi\;,$ Entonces $\displaystyle dx = \sec^2 \psi$

Así que la integral se convierte en $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan \psi-1+\sec \psi}{\tan \psi+1+\sec \psi}d\psi = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan \psi+\sec \psi - 1}{\tan \psi+\sec \psi+1}d\psi$

Ahora multiplica el numerador y el denominador por $\left(\tan \psi+\sec \psi-1\right)$

Así que $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan \psi+\sec \psi-1}{\tan \psi+\sec \psi+1} \times \frac{\tan \psi+\sec \psi-1}{\tan \psi+\sec \psi-1}d\psi = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\left(\tan \psi+\sec \psi-1\right)^2}{\left(\tan \psi+\sec \psi\right)^2-1}d\psi$

Ahora no entiendo cómo puedo resolver después de eso

Se necesita ayuda

Gracias.

Answer 1

Sugerencia

Como sugiere Fabian, multiplique el numerador y el denominador por $1+x -\sqrt{1+x^2}$ . Después de la simplificación, debería llegar a $$\frac{x-1+\sqrt{x^2+1}}{x+1+\sqrt{x^2+1}}=\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}$$

Estoy seguro de que puede tomar de aquí.

Answer 2

Solución:

Dejemos que $$t=x+1+\sqrt{1+x^2}\to 1+x^2=(t-1-x)^2\to x=\frac{t^2-2t}{2t-2}\to dx=\frac{t^2-2t+2}{2(t-1)^2}dt$$

Tenemos $$x-1+\sqrt{1+x^2}=t-2$$

Y $$\frac{x-1+\sqrt{1+x^2}}{x+1+\sqrt{1+x^2}}=\frac{t-2}{t}$$

Por lo tanto, $$I=\int_{0}^{1}\frac{x-1+\sqrt{1+x^2}}{x+1+\sqrt{1+x^2}}dx=\int_{2}^{2+\sqrt{2}}\frac{t-2}{t}\frac{t^2-2t+2}{2(t-1)^2}dt$$

$$=\int_{2}^{2+\sqrt{2}}\left[\frac{1}{2}-\frac{2}{t}+\frac{1}{t-1}-\frac{1}{2(t-1)^2}\right]dt=\cdots$$

Answer 3

Configurar $x=\tan2y$ $$F=\frac{\tan2y+\sec2y-1}{\tan2y+\sec2y+1}=\frac{\sin2y+1-\cos2y}{\sin2y+1+\cos2y}$$

Utilizando la fórmula del doble ángulo, $$F=\frac{2\sin y\cos y+2\sin^2y}{2\sin y\cos y+2\cos^2y}=\frac{2\sin y(\cos y+\sin y)}{2\cos y(\sin y+\cos y)}=\tan y$$ suponiendo que $\cos y+\sin y\ne0\iff\tan y\ne-1\implies x=\tan2y\ne\infty$

Answer 4

Tras multiplicar el integrando por $1+x-\sqrt{1+x^2}$ , entonces puede utilizar Sustitución de Euler para evaluar la integral. Para más información, puede consultar este enlace . La integral en el enlace dado casi similar con la suya, quizás la suya sea más sencilla.