¿Por qué el autor añadió la condición extra de que $X$ necesita ser $T_1?$

Question

En mi texto está escrito que,

Pero consigo demostrar el resultado subrayado en rojo simplemente para un primer espacio contable como (N.B. por punto límite el autor quería referirse al punto adherente )

• $\Rightarrow:~\exists$ una base local contable $\beta_x=\{V_n:n\in\mathbb N\}$ en $x$ tal que $V_{n+1}\subset V_n~\forall~n\in\mathbb N.$ Desde $x$ es un punto de adherencia de $E$ podemos construir la secuencia requerida eligiendo $x_n\in V_n\cap E.$

• $\Leftarrow:$ Para cualquier barrio abierto $U$ de $x,~U$ contiene infinitos elementos de $(x_n)_n$ y en particular cumple con $E.$

¿Es un intento correcto? Si es así, ¿por qué el autor añade la condición extra de que $X$ necesario para ser $T_1?$

Answer 1

El $T_1$ -no es necesario en este caso.

Todavía, $T_1$ tiene algunos efectos agradables en el comportamiento de las secuencias. Recordemos que un $T_1$ se caracteriza por la propiedad de que para cada $x\in X$ tenemos $\{x\}=\bigcap\{U\mid\ U \text{ neighborhood of } x\}$ . Así que si $x\in \overline E$ , entonces cada vecindad de $x$ contiene infinitos puntos de $E$ . En particular, si $x\in\partial E-E$ , entonces una secuencia $(x_n)_n\to x$ en $E$ no puede ser constante, y la secuencia que creamos al elegir $x_n\in V_n\cap E$ tendrá infinitos valores, por lo que se "parece" un poco más a lo que tiene en mente cuando pensamos en una secuencia convergente.

También hay que tener en cuenta que en un $T_1$ espacio un punto $x$ puede ser un punto límite del conjunto $\{x_n\mid n\in\Bbb N\}$ sin ser un punto de agrupación de la secuencia $(x_n)_n$ . Por ejemplo, considere $X=\Bbb Z^+$ con la topología formada por los conjuntos $A_n=\{1,2,...,n-1\}$ y $\Bbb Z^+$ mismo. Dejemos que $x_n=n$ por lo que esta secuencia tiene imagen igual a $X$ pero ningún entero positivo es un punto de cluster de $(x_n)_n$ .

Después de todo, el $T_1$ -facilita el manejo de las secuencias.