Cómo demostrar que la siguiente cantidad es un tensor de tercer rango

Question

$F^{ik}$ es un tensor antisimétrico. Quiero demostrar que la siguiente cantidad es un tensor de tercer rango. $$\dfrac{\partial F_{ik}}{\partial x^{l}} + \dfrac{\partial F_{kl}}{\partial x^{i}} + \dfrac{\partial F_{li}}{\partial x^{k}}$$ Conozco las manipulaciones entre tensores contravariantes y covariantes (utilizando el Tensor Métrico). Pero ¿Cómo puedo demostrar que algo es un tensor con un rango específico?

Esto puede parecer trivial, pero por favor, soy muy nuevo en esto.

ACTUALIZACIÓN: Aquí está mi intento. Estoy transformando la siguiente cantidad a un sistema de coordenadas diferente. (Estoy pasando de la notación i,k,l (sin imprimación) a la notación j,t,f (con imprimación). $$F_{jt}' = \dfrac{\partial x^{i}}{\partial x'^{j}} \dfrac{\partial x^{k}}{\partial x'^{t}} F_{ik} $$ $$ \dfrac{\partial F_{jt}'}{\partial x'^{f}} = \dfrac{\partial}{\partial x^{l}} (\dfrac{\partial x^{i}}{\partial x'^{j}} \dfrac{\partial x^{k}}{\partial x'^{t}} F_{ik}) \dfrac{\partial x^{l}}{\partial x'^{f}}$$ Utilizando la regla de la cadena, obtendré $\dfrac{\partial F_{ik}}{\partial x^{l}}$ , que es uno de los tres términos de la cantidad dada; a d algunos otros términos. El mismo procedimiento para los otros dos términos y obtendré la cantidad dada además con un montón de términos que no se cancelarían. ¿Cómo puedo resolver esto? ¿Y cómo ayuda aquí la propiedad "antisimétrica"? ( $F^{ik}$ es antisimétrica, mientras que en la ecuación $F_{ik}$ se utiliza).

Answer 1

En primer lugar, observe que, debido a la antisimetría de $F_{ij}$ (Obsérvese que $F^{ij}$ será antisimétrica siempre que $F_{ij}$ y viceversa) el objeto escrito

$$ T_{ijk}= \partial_i F_{jk} + \partial_{j}F_{ki} +\partial_{k}F_{ij} $$ es totalmente antisimétrica bajo cualquier intercambio de pares de índices (se puede comprobar fácilmente, tal objeto se llama la forma diferencial $dF$ la derivada exterior de $F$ ). Ahora realice un cambio de coordenadas, $T_{ijk}$ se transformará como

$$ T_{abc} = \frac{\partial x^i }{\partial x'^a}\frac{\partial x^j }{\partial x'^b}\frac{\partial x^k }{\partial x'^c}T_{ijk} + I_{abc} $$ donde este $I_{abc}$ es un término no homogéneo dado por:

$$ I_{abc} = \frac{\partial x^i}{\partial x'^a}\partial_i (\frac{\partial x^j}{\partial x'^b}\frac{\partial x^k}{\partial x'^c}) F_{jk} + \cdots $$ tal $I_{abc}$ será claramente también totalmente antisimétrica bajo el intercambio de cualquier par de los índices $a,b,c$ (ya que se define como la diferencia de dos objetos que tienen esta propiedad cada uno) Observa ahora que podemos reescribir:

$$ I_{abc} = \frac{\partial }{\partial x'^a}(\frac{\partial x^j}{\partial x'^b}\frac{\partial x^k}{\partial x'^c}) F_{jk} + \cdots \\ =\frac{\partial^2 x^j}{\partial x'^a x'^b}\frac{\partial x^k}{\partial x'^c} F_{jk} + \frac{\partial x^j}{\partial x'^b} \frac{\partial^2 x^j}{\partial x'^a x'^c} F_{jk} + \cdots $$ y todos ellos desaparecen porque el objeto es antisimétrico en los índices $a,b,c$ mientras que las derivadas parciales mixtas son simétricas (recordemos que un objeto tanto simétrico como antisimétrico es cero), por lo que $T_{ijk}$ es un tensor.