Lagunas en el espectro de los operadores de Laplace-Beltrami

Question

Consideremos $\mathbb S^d$ la esfera euclidiana unitaria de $\mathbb R^{d+1}$ y que $\Delta_{\mathbb S^d}$ sea el operador de Laplace en $\mathbb S^d$ . Tenemos $$-\Delta_{\mathbb S^d}=\sum_{k\in \mathbb N}k(k+d-1)\mathbb P_k, \quad I=\sum_{k\in \mathbb N}\mathbb P_k,$$ donde $\mathbb P_k$ es la proyección ortogonal sobre $\mathcal S_k$ los armónicos esféricos con grado $k$ . La dimensión de $\mathcal S_k$ equivale a $c_d k^{d-1}$ cuando $k\rightarrow+\infty$ y por tanto el valor propio $k(k+d-1)$ tiene una gran multiplicidad cuando $d\ge 2$ . Mirando $\sqrt{-\Delta_{\mathbb S^d}}$ encontramos que los valores propios son $$\{0\}\cup_{k\ge 1}\{\lambda_k=k\bigl(1+\frac{d-1}{k}\bigr)^{1/2}\},$$ correspondiente al eigespacio $\mathcal S_k$ . Como resultado, tenemos lagunas en el espectro de $\sqrt{-\Delta_{\mathbb S^d}}$ desde $$\lambda_{k+1}-\lambda_k\sim 1, \quad k\rightarrow+\infty.$$ Ahora mi pregunta: si perturbamos suavemente la métrica en $\mathbb S^d$ obtenemos un nuevo operador de Laplace-Beltrami $\tilde{\Delta}$ . ¿Son las lagunas en el espectro de $\sqrt{-\Delta_{\mathbb S^d}}$ ¿sobreviviendo a la perturbación? ¿Siguen presentes para $\sqrt{-\tilde\Delta}$ ?

Answer 1

Sí, cada hueco sobrevive a una pequeña perturbación (incluso a una perturbación de Hoelder), véase aquí . Para la suavidad del laplaciano con respecto a la métrica, véase aquí .

Pero quizás, la fórmula asintótica de Weyl (ver p155 de Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry) $$(\lambda_k)^{d/2} \sim \frac{(2\pi)^d k}{\text{Vol}(D^d).\text{Vol}(M)}$$ (que es válida para cada una de las variedades compactas de Riemann de dimensión $d$ ) es suficiente para usted.

Answer 2

De hecho, cada hueco sobrevive a la pequeña perturbación, pero la pequeñez depende del número del hueco. Para las métricas genéricas, los valores propios se distribuyen de forma más uniforme.

Por otro lado, si el Laplaciano en la esfera es perturbado por un operador de orden inferior, los valores propios seguirán divididos en grupos de valores propios separados por huecos espectrales . La anchura asintótica de estos cúmulos depende del orden de la perturbación y de otras cosas. Digamos que, para $-\Delta +V(x)$ la anchura de la agrupación es $\lesssim \lambda^{-1/2}$ pero es $\lesssim \lambda ^{-3/2}$ si $V(x)=-V(-x)$ mientras que la anchura de la brecha espectral es $\asymp \lambda^{1/2}$ .

En realidad, las brechas espectrales y los cúmulos aparecen en las variedades con todas las geodésicas cerradas.