Consideremos Sd la esfera euclidiana unitaria de Rd+1 y que ΔSd sea el operador de Laplace en Sd . Tenemos −ΔSd=∑k∈Nk(k+d−1)Pk,I=∑k∈NPk, donde Pk es la proyección ortogonal sobre Sk los armónicos esféricos con grado k . La dimensión de Sk equivale a cdkd−1 cuando k→+∞ y por tanto el valor propio k(k+d−1) tiene una gran multiplicidad cuando d≥2 . Mirando √−ΔSd encontramos que los valores propios son {0}∪k≥1{λk=k(1+d−1k)1/2}, correspondiente al eigespacio Sk . Como resultado, tenemos lagunas en el espectro de √−ΔSd desde λk+1−λk∼1,k→+∞. Ahora mi pregunta: si perturbamos suavemente la métrica en Sd obtenemos un nuevo operador de Laplace-Beltrami ˜Δ . ¿Son las lagunas en el espectro de √−ΔSd ¿sobreviviendo a la perturbación? ¿Siguen presentes para √−˜Δ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Sí, cada hueco sobrevive a una pequeña perturbación (incluso a una perturbación de Hoelder), véase aquí . Para la suavidad del laplaciano con respecto a la métrica, véase aquí .
Pero quizás, la fórmula asintótica de Weyl (ver p155 de Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry) (λk)d/2∼(2π)dkVol(Dd).Vol(M) (que es válida para cada una de las variedades compactas de Riemann de dimensión d ) es suficiente para usted.
De hecho, cada hueco sobrevive a la pequeña perturbación, pero la pequeñez depende del número del hueco. Para las métricas genéricas, los valores propios se distribuyen de forma más uniforme.
Por otro lado, si el Laplaciano en la esfera es perturbado por un operador de orden inferior, los valores propios seguirán divididos en grupos de valores propios separados por huecos espectrales . La anchura asintótica de estos cúmulos depende del orden de la perturbación y de otras cosas. Digamos que, para −Δ+V(x) la anchura de la agrupación es ≲ pero es \lesssim \lambda ^{-3/2} si V(x)=-V(-x) mientras que la anchura de la brecha espectral es \asymp \lambda^{1/2} .
En realidad, las brechas espectrales y los cúmulos aparecen en las variedades con todas las geodésicas cerradas.